મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. પરિચય — મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક શું છે?

ત્રણ માપ સમજો

  • મધ્યક (Average / Mean) એટલે બધી કિંમતોનો સરવાળો ભાગ્યા કિંમતોની સંખ્યા. એક જ વાક્યમાં — સરવાળો ભાગ્યા સંખ્યા.
  • મધ્યસ્થ (Median) એટલે આંકડાઓને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવ્યા પછી બરાબર વચ્ચે આવતી કિંમત.
  • બહુલક (Mode) એટલે જે કિંમત સૌથી વધુ વાર આવે તે કિંમત.
  • પરીક્ષામાં મોટા ભાગે મધ્યક પૂછાય છે. તેથી મધ્યકની ટ્રિક પાક્કી કરો.

મુખ્ય સૂત્રો એક નજરમાં

  • મધ્યક = સરવાળો ÷ સંખ્યા. ઊલટું — સરવાળો = મધ્યક × સંખ્યા.
  • પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો મધ્યક = (n + 1) ÷ 2.
  • પ્રથમ n બેકી સંખ્યાનો મધ્યક = (n + 1).
  • પ્રથમ n એકી સંખ્યાનો મધ્યક = n.
  • અનુભવસિદ્ધ સંબંધ: બહુલક = 3 × મધ્યસ્થ − 2 × મધ્યક.

ઝડપથી ઉકેલવાનો મંત્ર

  • બદલાવ આવે ત્યારે આખો સરવાળો ફરી ગણવાની જરૂર નથી — માત્ર ફેરફાર ÷ સંખ્યા વિચારો.
  • ક્રમિક (સળંગ) સંખ્યાઓમાં મધ્યક હંમેશા બરાબર વચ્ચેની સંખ્યા જેટલો જ થાય.
  • બે જૂથની સંખ્યા સરખી હોય તો સંયુક્ત મધ્યક = બંને મધ્યકનો સાદો સરેરાશ.

2. સાદો સરેરાશ (મધ્યક)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: બધી આપેલી કિંમતોનો સરવાળો કરો.
  • પગલું 2: કેટલી કિંમતો છે તે ગણો.
  • પગલું 3: સરવાળાને કિંમતોની સંખ્યા વડે ભાગો — એ જ મધ્યક.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બધી સંખ્યા આસપાસ સરખી હોય તો વચ્ચેની એક સંખ્યાને આધાર ધારો અને દરેકનો તેનાથી તફાવત ઉમેરો, પછી તે વધારાને સંખ્યા વડે ભાગીને આધારમાં ઉમેરો.
  • દાખલા તરીકે 51, 52, 53 માટે આધાર 52 લો — તફાવત −1, 0, +1 સરવાળો 0, એટલે મધ્યક સીધો 52.
  • આનાથી મોટા આંકડાનો સરવાળો કરવાની ઝંઝટ ટળે છે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 12, 18 અને 24 નો મધ્યક શોધો.
  • સરવાળો = 12 + 18 + 24 = 54.
  • મધ્યક = 54 ÷ 3 = 18.
  • જવાબ: 18.

3. પ્રથમ n પ્રાકૃતિક, બેકી અને એકી સંખ્યાનો મધ્યક

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો સરવાળો = n × (n + 1) ÷ 2, અને મધ્યક = એ સરવાળો ÷ n.
  • પ્રથમ n બેકી સંખ્યાનો સરવાળો = n × (n + 1), અને મધ્યક = એ સરવાળો ÷ n.
  • પ્રથમ n એકી સંખ્યાનો સરવાળો = n × n, અને મધ્યક = એ સરવાળો ÷ n.
  • દરેક વખતે સરવાળો ગણીને ભાગવાથી જવાબ મળે જ છે, પણ નીચેની ટ્રિક વધુ ઝડપી છે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો મધ્યક = (n + 1) ÷ 2.
  • પ્રથમ n બેકી સંખ્યાનો મધ્યક = (n + 1).
  • પ્રથમ n એકી સંખ્યાનો મધ્યક = n.
  • આ ત્રણ સૂત્ર ગોખી લો — સરવાળો કર્યા વગર સીધો જવાબ આવી જશે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: પ્રથમ 10 પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો મધ્યક શોધો.
  • ટ્રિક: મધ્યક = (n + 1) ÷ 2 = (10 + 1) ÷ 2 = 11 ÷ 2 = 5.5.
  • જવાબ: 5.5.
  • બીજો દાખલો: પ્રથમ 5 બેકી સંખ્યાનો મધ્યક = (n + 1) = 5 + 1 = 6.

4. ખૂટતી સંખ્યા શોધવી

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: કુલ સરવાળો કાઢો — કુલ સરવાળો = મધ્યક × કુલ સંખ્યા.
  • પગલું 2: જે કિંમતો આપેલી છે તેનો સરવાળો કરો.
  • પગલું 3: ખૂટતી સંખ્યા = કુલ સરવાળો − આપેલી કિંમતોનો સરવાળો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • મગજમાં સીધું વિચારો — ખૂટતી સંખ્યા = (મધ્યક × સંખ્યા) − આપેલાનો સરવાળો.
  • જો બધી જ સંખ્યા મધ્યકની આસપાસ હોય તો દરેકનો મધ્યકથી તફાવત જુઓ; બાકી રહેલ તફાવત ઊલટાવી દો — એ ખૂટતી સંખ્યાનો મધ્યકથી તફાવત.
  • આ રીતે મોટા સરવાળાથી બચાય છે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ચાર સંખ્યાનો મધ્યક 20 છે. ત્રણ સંખ્યા 15, 25, 30 છે, તો ચોથી કઈ?
  • કુલ સરવાળો = 20 × 4 = 80.
  • ત્રણનો સરવાળો = 15 + 25 + 30 = 70.
  • ચોથી સંખ્યા = 80 − 70 = 10. જવાબ: 10.

5. વસ્તુ ઉમેરાય, દૂર થાય કે બદલાય ત્યારે નવો મધ્યક

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: જૂનો કુલ સરવાળો કાઢો — જૂનો મધ્યક × જૂની સંખ્યા.
  • પગલું 2: ઉમેરાય તો સરવાળામાં ઉમેરો અને સંખ્યા 1 વધારો; દૂર થાય તો સરવાળામાંથી બાદ કરો અને સંખ્યા 1 ઘટાડો.
  • પગલું 3: બદલાય તો જૂની કિંમત બાદ કરી નવી કિંમત ઉમેરો, સંખ્યા તેટલી જ રહે.
  • પગલું 4: નવો મધ્યક = નવો સરવાળો ÷ નવી સંખ્યા.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • મધ્યકમાં થયેલો ફેરફાર = કુલ સરવાળામાં થયેલો ફેરફાર ÷ સંખ્યા.
  • ઊલટું પણ સાચું — સરવાળામાં ફેરફાર = મધ્યકમાં ફેરફાર × સંખ્યા.
  • બદલવાના કિસ્સામાં: નવી કિંમત = જૂની કિંમત + (મધ્યકમાં ફેરફાર × સંખ્યા).
  • આખો સરવાળો ફરી ગણવાની જરૂર નથી — ફક્ત ફેરફાર ÷ સંખ્યા વિચારો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: પાંચ સંખ્યાનો મધ્યક 20 છે. 10 કિંમતની સંખ્યાને બીજીથી બદલતાં મધ્યક 22 થાય, તો નવી સંખ્યા કઈ?
  • મધ્યક 2 વધ્યો, એટલે સરવાળો વધ્યો = 2 × 5 = 10.
  • નવી સંખ્યા = જૂની 10 + 10 = 20.
  • જવાબ: 20.

6. વય અને વજનના ફેરફારના પ્રશ્નો

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: હાલનો કુલ સરવાળો કાઢો — હાલનો સરેરાશ × સભ્યોની સંખ્યા.
  • પગલું 2: દરેક સભ્યની વયમાં સરખો વધારો કે ઘટાડો થાય ત્યારે કુલ ફેરફાર = વર્ષ × સભ્યોની સંખ્યા.
  • પગલું 3: નવો સરવાળો કાઢી તેને સંખ્યા વડે ભાગો, અથવા સીધો સરેરાશ વર્ષ જેટલો જ બદલો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જૂથના બધા સભ્યો સરખા વર્ષ મોટા થાય ત્યારે સરેરાશ વય પણ એટલા જ વર્ષ વધે — સંખ્યાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.
  • 5 વર્ષ પહેલાંની સરેરાશ = હાલની સરેરાશ − 5 (જો કોઈ જન્મ/મૃત્યુ ન હોય).
  • નવો સભ્ય ઉમેરાય ત્યારે જ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરો — તેનું વજન/વય = નવો સરવાળો − જૂનો સરવાળો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: પાંચ સભ્યના કુટુંબની હાલની સરેરાશ વય 30 વર્ષ છે. જન્મ-મૃત્યુ વગર 5 વર્ષ પહેલાં સરેરાશ વય કેટલી હતી?
  • દરેક સભ્ય 5 વર્ષ નાનો હતો, એટલે સરેરાશ પણ 5 વર્ષ ઓછી.
  • 5 વર્ષ પહેલાંની સરેરાશ = 30 − 5 = 25 વર્ષ.
  • જવાબ: 25 વર્ષ.

7. બે જૂથનો સંયુક્ત મધ્યક

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: પ્રથમ જૂથનો સરવાળો = તેનો મધ્યક × તેની સંખ્યા.
  • પગલું 2: બીજા જૂથનો સરવાળો = તેનો મધ્યક × તેની સંખ્યા.
  • પગલું 3: બંને સરવાળા ઉમેરો અને બંને જૂથની કુલ સંખ્યા ઉમેરો.
  • પગલું 4: સંયુક્ત મધ્યક = કુલ સરવાળો ÷ કુલ સંખ્યા.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જો બંને જૂથની સંખ્યા સરખી હોય તો સંયુક્ત મધ્યક = બંને મધ્યકનો સાદો સરેરાશ — સરવાળાની માથાકૂટ જ નહીં.
  • સંખ્યા જુદી હોય તો ટૂંકું સૂત્ર: સંયુક્ત મધ્યક = (n1 × m1 + n2 × m2) ÷ (n1 + n2).
  • જવાબ હંમેશા બે મધ્યકની વચ્ચે જ આવે — વધુ સભ્યવાળા જૂથની નજીક ઢળે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 30 વિદ્યાર્થીનો સરેરાશ 40 અને 20 વિદ્યાર્થીનો સરેરાશ 35 છે. બધા 50 નો સરેરાશ?
  • કુલ ગુણ = 30 × 40 + 20 × 35 = 1200 + 700 = 1900.
  • સંયુક્ત મધ્યક = 1900 ÷ 50 = 38.
  • જવાબ: 38.

8. ભારિત મધ્યક (Weighted Average)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: દરેક કિંમતને તેના ભાર (વેઇટ) સાથે ગુણો.
  • પગલું 2: એ બધા ગુણાકારનો સરવાળો કરો.
  • પગલું 3: બધા ભારનો સરવાળો કરો.
  • પગલું 4: ભારિત મધ્યક = ગુણાકારનો સરવાળો ÷ ભારનો સરવાળો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • સૂત્ર: ભારિત મધ્યક = (કિંમત × ભાર) નો સરવાળો ÷ ભારનો સરવાળો.
  • જે કિંમતનો ભાર વધારે, જવાબ તેની તરફ વધુ ઢળશે — એ ધ્યાનમાં રાખી વિકલ્પ ચકાસો.
  • ભારનો સરવાળો અગાઉથી ગણી રાખો, પછી માત્ર ઉપરનો ભાગ બદલતો રહે — ગણતરી ઝડપી થાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ગુણ 80, 90, 70 અને ભાર ક્રમ પ્રમાણે 2, 3, 5 છે. ભારિત મધ્યક શોધો.
  • ભારિત સરવાળો = 80 × 2 + 90 × 3 + 70 × 5 = 160 + 270 + 350 = 780.
  • કુલ ભાર = 2 + 3 + 5 = 10.
  • ભારિત મધ્યક = 780 ÷ 10 = 78. જવાબ: 78.

9. મધ્યસ્થ (Median) — એકી અને બેકી પદ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: બધા આંકડાને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવો — આ સૌથી અગત્યનું પગલું છે.
  • પગલું 2: પદોની સંખ્યા n ગણો.
  • પગલું 3: જો n એકી હોય તો બરાબર વચ્ચેનું પદ એ જ મધ્યસ્થ.
  • પગલું 4: જો n બેકી હોય તો વચ્ચેના બે પદનો સરેરાશ એ મધ્યસ્થ.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • n એકી હોય તો મધ્યસ્થનું સ્થાન = (n + 1) ÷ 2 મું પદ.
  • n બેકી હોય તો વચ્ચેના બે પદ = (n ÷ 2) મું અને તેના પછીનું પદ; તેમનો સરેરાશ લો.
  • ક્રમમાં ગોઠવવાનું કદી ભૂલશો નહીં — સીધી આપેલી યાદી પરથી મધ્યસ્થ લેવાથી જવાબ ખોટો પડે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 7, 3, 9, 5, 11 નો મધ્યસ્થ શોધો.
  • ચઢતા ક્રમ: 3, 5, 7, 9, 11. અહીં n = 5 (એકી).
  • વચ્ચેનું ત્રીજું પદ = 7, એ જ મધ્યસ્થ.
  • બેકીનો દાખલો: 4, 6, 8, 10 માં વચ્ચેના 6 અને 8, મધ્યસ્થ = (6 + 8) ÷ 2 = 7.

10. બહુલક (Mode)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: દરેક કિંમત કેટલી વાર આવે છે તે ગણો.
  • પગલું 2: જે કિંમત સૌથી વધુ વાર આવે તે જ બહુલક.
  • પગલું 3: જો બે કિંમત સરખી વધુ વાર આવે તો બંને બહુલક ગણાય; કોઈ કિંમત વારંવાર ન આવે તો બહુલક ન હોય.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • આંકડા જોઈને જે વારંવાર દેખાય તેના પર સીધી નજર નાખો — ગણતરી કરવાની જરૂર નથી.
  • વિકલ્પોમાંથી જે સંખ્યા યાદીમાં સૌથી વધુ વાર છપાઈ છે તે જ સામાન્ય રીતે જવાબ.
  • બહુલક હંમેશા આપેલી યાદીમાંની જ કોઈ કિંમત હોય — બહારની કોઈ સંખ્યા ન હોય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 2, 3, 3, 4, 5, 3, 6 નો બહુલક શોધો.
  • ગણતરી: 3 એ ત્રણ વાર આવે છે, બાકી બધી એક-એક વાર.
  • સૌથી વધુ વારની કિંમત = 3.
  • જવાબ: 3.

11. અનુભવસિદ્ધ સંબંધ (Mode = 3 Median − 2 Mean)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • મુખ્ય સૂત્ર: બહુલક = 3 × મધ્યસ્થ − 2 × મધ્યક.
  • પગલું 1: પ્રશ્નમાં કઈ બે કિંમત આપી છે અને કઈ શોધવાની છે તે નક્કી કરો.
  • પગલું 2: આપેલી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો.
  • પગલું 3: સાદું સમીકરણ ઉકેલીને બાકીની કિંમત શોધો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • મધ્યસ્થ શોધવો હોય તો ઊલટું સૂત્ર: મધ્યસ્થ = (બહુલક + 2 × મધ્યક) ÷ 3.
  • મધ્યક શોધવો હોય તો: મધ્યક = (3 × મધ્યસ્થ − બહુલક) ÷ 2.
  • ફક્ત ‘3 મધ્યસ્થ બાદ 2 મધ્યક બરાબર બહુલક’ એટલું યાદ રાખો — બાકીના સૂત્ર તેમાંથી જ નીકળે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: મધ્યક 30 અને મધ્યસ્થ 28 હોય તો બહુલક શોધો.
  • બહુલક = 3 × મધ્યસ્થ − 2 × મધ્યક = 3 × 28 − 2 × 30.
  • = 84 − 60 = 24.
  • જવાબ: 24.

12. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો

મુખ્ય સૂત્રો

  • મધ્યક = સરવાળો ÷ સંખ્યા; સરવાળો = મધ્યક × સંખ્યા.
  • પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો મધ્યક = (n + 1) ÷ 2.
  • પ્રથમ n બેકી સંખ્યાનો મધ્યક = (n + 1).
  • પ્રથમ n એકી સંખ્યાનો મધ્યક = n.
  • બહુલક = 3 × મધ્યસ્થ − 2 × મધ્યક.

ટ્રિક ટૂંકમાં

  • મધ્યકમાં ફેરફાર = સરવાળામાં ફેરફાર ÷ સંખ્યા — આ એક ટ્રિક ઘણા દાખલા ઉકેલે.
  • ખૂટતી સંખ્યા = (મધ્યક × સંખ્યા) − આપેલાનો સરવાળો.
  • જૂથના બધા સભ્ય સરખા વર્ષ મોટા થાય તો સરેરાશ પણ એટલા જ વર્ષ વધે.
  • બે જૂથની સંખ્યા સરખી હોય તો સંયુક્ત મધ્યક = બંને મધ્યકનો સાદો સરેરાશ.
  • ક્રમિક (સળંગ) સંખ્યાનો મધ્યક = બરાબર વચ્ચેની સંખ્યા.

ભૂલ ટાળો

  • મધ્યસ્થ કાઢતા પહેલાં આંકડા ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવવાનું કદી ભૂલશો નહીં.
  • બેકી પદ હોય ત્યારે વચ્ચેના બે પદનો સરેરાશ લેવો — એક જ પદ નહીં.
  • ભારિત મધ્યકમાં નીચે ભારનો સરવાળો આવે, પદોની સંખ્યા નહીં.
  • બહુલક હંમેશા આપેલી યાદીમાંની જ કિંમત હોય.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.