મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
PariksaPath
Start free
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — સુરેખ અને દ્વિઘાત સમીકરણ

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. સમીકરણ એટલે શું — પાયાની સમજ

ઓળખાણ

  • •સમીકરણ એટલે બે બાજુ સરખી હોય તેવું ગણિતનું વાક્ય, જેમાં અજ્ઞાત રાશિ (x, y) શોધવાની હોય.
  • •સુરેખ સમીકરણ: જેમાં x ની સૌથી મોટી ઘાત 1 હોય. દા.ત. 2x + 3 = 7. તેનું એક જ બીજ મળે.
  • •દ્વિઘાત સમીકરણ: જેમાં x ની સૌથી મોટી ઘાત 2 હોય. દા.ત. x² − 5x + 6 = 0. તેના બે બીજ મળે.
  • •દ્વિઘાતનું પ્રમાણભૂત રૂપ: ax² + bx + c = 0, જ્યાં a શૂન્ય ન હોય.

મૂળ નિયમ

  • •બંને બાજુ સરખું જ ઉમેરો, બાદ કરો, ગુણો કે ભાગો — સમતુલા જળવાઈ રહે.
  • •કોઈ પદ એક બાજુથી બીજી બાજુ લઈ જાઓ ત્યારે તેની નિશાની બદલાય: ઉમેરો બને બાદ, ગુણાકાર બને ભાગાકાર.
  • •ધ્યેય: x ને એક બાજુ એકલો કરવો, સંખ્યા બીજી બાજુ.

2. એક ચલમાં સુરેખ સમીકરણ ઉકેલવું

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • 1) કૌંસ હોય તો પહેલાં ખોલો, બધાં પદ સાદાં કરો.
  • 2) x વાળાં પદ એક બાજુ અને સંખ્યાઓ બીજી બાજુ લઈ જાઓ (નિશાની બદલીને).
  • 3) બંને બાજુ સરખાં પદ ભેગાં કરો.
  • 4) x ની સામેના આંકથી બંને બાજુ ભાગો, x મળી જશે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ax + b = c હોય તો સીધું જ x = (c − b) / a લખી દો.
  • એટલે કે: જમણી બાજુની સંખ્યામાંથી ડાબી બાજુની છૂટી સંખ્યા બાદ કરો, પછી x ના આંકથી ભાગો.
  • આખું પગલું ગણ્યા વગર મનમાં જ ઉકેલ આવી જાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: 2x + 5 = 13.
  • ટ્રિક લગાવો: x = (13 − 5) / 2 = 8 / 2 = 4.
  • જવાબ: x = 4.

3. બે ચલમાં સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ (વિલોપન / પ્રતિસ્થાપન)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • વિલોપન રીત: 1) એક ચલના આંક સરખા કરવા જરૂર પડે તો સમીકરણને કોઈ આંકથી ગુણો.
  • 2) બે સમીકરણ ઉમેરો કે બાદ કરો જેથી એક ચલ ઊડી જાય.
  • 3) બાકી રહેલા એક ચલમાંથી તેની કિંમત શોધો, પછી તે કોઈ એક સમીકરણમાં મૂકી બીજો ચલ શોધો.
  • પ્રતિસ્થાપન રીત: એક સમીકરણમાંથી y = (કંઈક) મેળવી, તે કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકી દો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જો x + y = S અને x − y = D આપ્યું હોય, તો સીધું જ: x = (S + D)/2 અને y = (S − D)/2.
  • મોટી રાશિ = (સરવાળો + તફાવત)/2, નાની રાશિ = (સરવાળો − તફાવત)/2.
  • ઉમેરો-બાદનો આખો ધક્કો છોડી, મનમાં જ બંને કિંમત નીકળે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: x + y = 10 અને x − y = 4.
  • ટ્રિક: x = (10 + 4)/2 = 7, y = (10 − 4)/2 = 3.
  • જવાબ: x = 7, y = 3.

4. શબ્દ-દાખલા બે સમીકરણ બનાવવાં

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • 1) જે શોધવાનું છે તેને ચલ આપો — દા.ત. એક સંખ્યા x, બીજી y.
  • 2) વાક્યના 'સરવાળો', 'તફાવત', 'ગણા', 'કરતાં વધારે/ઓછા' જેવા શબ્દ પ્રમાણે બે સમીકરણ લખો.
  • 3) બંને સમીકરણ વિલોપન કે પ્રતિસ્થાપનથી ઉકેલો.
  • 4) મળેલી કિંમત મૂળ સવાલમાં તપાસો કે બંધબેસે છે કે નહીં.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • 'સરવાળો S, તફાવત D' વાળા દાખલામાં સીધું જ મોટી = (S+D)/2, નાની = (S−D)/2 વાપરો.
  • 'ઉંમરનો તફાવત' હંમેશા સરખો રહે છે — વર્ષ વધે તોય તફાવત બદલાતો નથી.
  • બે અંકની સંખ્યા = 10 × દશકનો અંક + એકમનો અંક — આ રૂપ યાદ રાખો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: બે સંખ્યાનો સરવાળો 25 અને તફાવત 7 છે. મોટી સંખ્યા?
  • ટ્રિક: મોટી = (25 + 7)/2 = 32/2 = 16.
  • જવાબ: મોટી સંખ્યા 16 (નાની 9).

5. એક / કોઈ નહીં / અનંત ઉકેલ — શરત

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • બે સમીકરણ a1x + b1y + c1 = 0 અને a2x + b2y + c2 = 0 લો.
  • ત્રણ ગુણોત્તર ગણો: a1/a2, b1/b2, c1/c2.
  • જો a1/a2 બરાબર ન હોય b1/b2 ને — તો એક જ ઉકેલ (રેખા છેદે છે).
  • જો ત્રણેય સરખા — તો અનંત ઉકેલ (બંને એક જ રેખા). જો a1/a2 = b1/b2 પણ c1/c2 જુદો — તો કોઈ ઉકેલ નહીં (સમાંતર રેખા).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ફક્ત આટલું યાદ રાખો — એક ઉકેલ: a1/a2 ≠ b1/b2.
  • અનંત ઉકેલ: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 (બધા સરખા).
  • કોઈ ઉકેલ નહીં: a1/a2 = b1/b2 પણ c1/c2 અલગ.
  • ઝડપથી જુઓ: એક સમીકરણ બીજાનું ચોખ્ખું ગણું હોય તો અનંત ઉકેલ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: 2x + 3y = 8 અને 4x + 6y = 16 — ઉકેલ વિશે શું?
  • ગુણોત્તર: 2/4 = 3/6 = 8/16 = 1/2, ત્રણેય સરખા.
  • જવાબ: અનંત ઉકેલ (બીજું સમીકરણ પહેલાનું 2 ગણું જ છે).

6. દ્વિઘાત — અવયવ પાડીને ઉકેલવું

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • 1) સમીકરણને ax² + bx + c = 0 રૂપમાં લાવો.
  • 2) એવા બે આંક શોધો જેનો ગુણાકાર a × c થાય અને સરવાળો b થાય.
  • 3) વચ્ચેના bx પદને એ બે આંકથી તોડો, પછી જૂથ પાડી સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢો.
  • 4) (x − p)(x − q) = 0 રૂપ મળે; દરેક કૌંસ શૂન્ય મૂકી x = p, x = q મેળવો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જ્યારે a = 1 હોય (x² + bx + c) ત્યારે સીધા જ બે આંક શોધો — ગુણાકાર c, સરવાળો b.
  • બીજ = એ બે આંકની વિરુદ્ધ નિશાનીવાળી કિંમત. દા.ત. (x − 2)(x − 3) બીજ 2 અને 3.
  • ઝડપી તપાસ: બીજનો સરવાળો = −b, ગુણાકાર = c. વિકલ્પોમાંથી જે જોડી આ બંધબેસે તે જ સાચી.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: x² − 5x + 6 = 0.
  • બે આંક જોઈએ: ગુણાકાર 6, સરવાળો 5 2 અને 3. એટલે (x − 2)(x − 3) = 0.
  • જવાબ: x = 2 અથવા x = 3.

7. દ્વિઘાત — સૂત્રથી ઉકેલવું

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • 1) ax² + bx + c = 0 માંથી a, b, c ઓળખો (નિશાની સહિત).
  • 2) સૂત્ર વાપરો: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
  • 3) પહેલાં D = b² − 4ac ગણો, પછી તેનું વર્ગમૂળ લો.
  • 4) + અને − બંને લઈ બે બીજ મેળવો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જ્યારે અવયવ સહેલા ન પડે ત્યારે જ સૂત્ર વાપરો — બાકી અવયવ ઝડપી છે.
  • પહેલાં D ગણો; D પૂર્ણ વર્ગ હોય તો વર્ગમૂળ સહેલું અને બીજ સારી સંખ્યા આવશે.
  • ઝડપ: x = (−b ± √D) / 2a — D ગણ્યા પછી ફક્ત આ આંકડા મૂકી દો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: 3x² − 5x + 2 = 0. અહીં a = 3, b = −5, c = 2.
  • D = (−5)² − 4×3×2 = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/6.
  • જવાબ: x = 6/6 = 1 અથવા x = 4/6 = 2/3.

8. વિવેચક અને બીજનો પ્રકાર (D = b² − 4ac)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • 1) ax² + bx + c = 0 માંથી a, b, c ઓળખો.
  • 2) વિવેચક ગણો: D = b² − 4ac.
  • 3) D > 0 હોય બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ.
  • 4) D = 0 હોય બે સમાન વાસ્તવિક બીજ. D < 0 હોય વાસ્તવિક બીજ નથી.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ફક્ત D ની નિશાની જુઓ, બીજ ગણવાની જરૂર નથી.
  • ધન D = બે જુદાં બીજ, શૂન્ય D = બે સરખાં બીજ, ઋણ D = વાસ્તવિક બીજ નથી.
  • 'સમાન બીજ' કે 'સ્પર્શે છે' એવો પ્રશ્ન હોય તો સીધું D = 0 મૂકી દો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: x² + 4x + 5 = 0 ના બીજનો પ્રકાર?
  • D = 4² − 4×1×5 = 16 − 20 = −4, જે ઋણ છે.
  • જવાબ: D < 0 એટલે વાસ્તવિક બીજ નથી.

9. બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર (−b/a, c/a)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • 1) ax² + bx + c = 0 માંથી a, b, c ઓળખો.
  • 2) બીજનો સરવાળો = −b/a.
  • 3) બીજનો ગુણાકાર = c/a.
  • 4) બીજ ગણ્યા વગર જ આ બે કિંમતો સીધી મળી જાય.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • a = 1 હોય તો સરવાળો = −b અને ગુણાકાર = c — સીધું વાંચી લો.
  • '1/α + 1/β' પૂછે તો = (સરવાળો)/(ગુણાકાર) = (−b/a)/(c/a) = −b/c.
  • 'α² + β²' પૂછે તો = (સરવાળો)² − 2×(ગુણાકાર). બીજ શોધવાની જરૂર નથી.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: x² − 6x + 8 = 0 ના બીજ α, β માટે 1/α + 1/β?
  • સરવાળો = −(−6)/1 = 6, ગુણાકાર = 8/1 = 8.
  • જવાબ: 1/α + 1/β = 6/8 = 3/4.

10. બીજ આપ્યાં હોય ત્યારે દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવું

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • 1) આપેલા બે બીજ p અને q લો.
  • 2) તેમનો સરવાળો (p + q) અને ગુણાકાર (p × q) ગણો.
  • 3) સૂત્રમાં મૂકો: x² − (સરવાળો)x + (ગુણાકાર) = 0.
  • 4) આંકડા ભરી સમીકરણ લખી દો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • સીધું જ યાદ રાખો: x² − (p+q)x + pq = 0.
  • વચ્ચેના પદની નિશાની હંમેશા સરવાળાથી વિરુદ્ધ (−), છેલ્લું પદ ગુણાકાર.
  • વિકલ્પ-આધારિત હોય તો જે સમીકરણમાં (બીજનો સરવાળો) = −b અને (ગુણાકાર) = c બંધબેસે તે જ સાચું.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • દાખલો: બીજ 3 અને 5 હોય તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ?
  • સરવાળો = 8, ગુણાકાર = 15. એટલે x² − 8x + 15 = 0.
  • જવાબ: x² − 8x + 15 = 0.

11. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો — ચીટ-શીટ

વિવેચક (D = b² − 4ac) નિયમ

  • •D > 0 બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ.
  • •D = 0 બે સમાન વાસ્તવિક બીજ.
  • •D < 0 વાસ્તવિક બીજ નથી.
  • •'સમાન બીજ' જોઈએ તો D = 0 મૂકો.

બીજનાં સૂત્ર

  • •દ્વિઘાત સૂત્ર: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
  • •બીજનો સરવાળો = −b/a.
  • •બીજનો ગુણાકાર = c/a.
  • •બીજ આપ્યાં હોય તો: x² − (સરવાળો)x + (ગુણાકાર) = 0.

ઉકેલની શરત (બે સુરેખ સમીકરણ)

  • •એક જ ઉકેલ: a1/a2 ≠ b1/b2.
  • •અનંત ઉકેલ: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2.
  • •કોઈ ઉકેલ નહીં: a1/a2 = b1/b2 પણ c1/c2 અલગ.

ઝડપી યુક્તિઓ

  • •ax + b = c x = (c − b)/a.
  • •સરવાળો S, તફાવત D મોટી = (S+D)/2, નાની = (S−D)/2.
  • •1/α + 1/β = (બીજનો સરવાળો)/(બીજનો ગુણાકાર).
  • •ઉંમરનો તફાવત હંમેશા સરખો રહે છે.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.