મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
PariksaPath
Start free
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — યામભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિ

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. પરિચય — આ વિભાગ કેમ સહેલો છે

શું શીખવાનું છે

  • •યામભૂમિતિ એટલે આલેખ પર બિંદુઓની રમત. દરેક બિંદુને બે આંકડા (x, y) થી લખાય.
  • •ત્રિકોણમિતિ એટલે કાટકોણ ત્રિકોણના ખૂણા અને બાજુઓ વચ્ચેનો સંબંધ — sin, cos, tan.
  • •આ આખો વિભાગ સૂત્ર આધારિત છે. એક વાર સૂત્રો અને ત્રિકોણમિતિ ટેબલ ગોખી લો, એટલે મોટા ભાગના પ્રશ્નો 30 સેકન્ડમાં થઈ જાય.

પ્રશ્ન કેવા આવે

  • •બે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર, મધ્યબિંદુ, વિભાજન બિંદુ, ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ, સમરેખ બિંદુ.
  • •sin/cos/tan ના પ્રમાણભૂત મૂલ્યો (0, 30, 45, 60, 90), પૂરક ખૂણા, નિત્યસમ.
  • •ઊંચાઈ અને અંતર — ઉન્નતિ ખૂણા 30, 45, 60 વાળા મકાન-ટાવરના પ્રશ્નો.
  • •પાયથાગોરસ પ્રમેય અને ત્રિકોણના ખૂણાનો સરવાળો.

મુખ્ય મંત્ર

  • •મોટા ભાગના અંતરના પ્રશ્નોમાં 3-4-5 અથવા 6-8-10 જેવા પાયથાગોરસ જોડકાં છુપાયેલા હોય — ઓળખી લો તો વર્ગમૂળ ગણવાની જરૂર નહીં.
  • •ત્રિકોણમિતિ ટેબલ પાકું ગોખો — એ વગર આ વિભાગ થાય જ નહીં.
  • •tan = sin/cos હંમેશા યાદ રાખો, એટલે tan અલગ ગોખવાની જરૂર નહીં.

2. બે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર (Distance Formula)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • બે બિંદુ આપ્યા હોય (x1, y1) અને (x2, y2).
  • પગલું 1: x નો તફાવત શોધો = (x2 − x1).
  • પગલું 2: y નો તફાવત શોધો = (y2 − y1).
  • પગલું 3: બંને તફાવતનો વર્ગ કરી સરવાળો કરો.
  • પગલું 4: એ સરવાળાનું વર્ગમૂળ લો. એ જ અંતર. સૂત્ર: અંતર = √((x2−x1)² + (y2−y1)²).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • x અને y ના તફાવત જુઓ. જો એ 3 અને 4 હોય તો અંતર સીધું 5. જો 6 અને 8 હોય તો 10. જો 5 અને 12 હોય તો 13.
  • આ પાયથાગોરસ જોડકાં (3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17) મોઢે રાખો — વર્ગ-વર્ગમૂળ ગણવાની જરૂર જ નહીં.
  • જો એક યામ સમાન હોય (x સરખા અથવા y સરખા) તો અંતર સીધું બીજા યામનો તફાવત જ છે — સૂત્ર નહીં.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: (2, 3) અને (6, 6) વચ્ચેનું અંતર?
  • x તફાવત = 6 − 2 = 4, y તફાવત = 6 − 3 = 3.
  • 4 અને 3 એટલે 3-4-5 જોડકું — અંતર સીધું 5.
  • ચકાસણી: √(16 + 9) = √25 = 5. જવાબ 5.

3. મધ્યબિંદુ (Midpoint Formula)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • બે બિંદુ (x1, y1) અને (x2, y2) આપ્યા હોય.
  • પગલું 1: બંને x નો સરવાળો કરી 2 વડે ભાગો = (x1 + x2)/2.
  • પગલું 2: બંને y નો સરવાળો કરી 2 વડે ભાગો = (y1 + y2)/2.
  • પગલું 3: એ બે મૂલ્યો જ મધ્યબિંદુના યામ. સૂત્ર: મધ્યબિંદુ = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • મધ્યબિંદુ એટલે માત્ર બંને x ની સરેરાશ અને બંને y ની સરેરાશ — બીજું કંઈ નહીં.
  • મનમાં બોલો: x વચ્ચે અને y વચ્ચે. ઝડપથી સરેરાશ ગણો.
  • ઊલટો પ્રશ્ન હોય (એક છેડો અને મધ્યબિંદુ આપ્યું, બીજો છેડો શોધો) તો: બીજો છેડો = 2 × મધ્યબિંદુ − આપેલો છેડો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: (2, 4) અને (6, 8) નું મધ્યબિંદુ?
  • x ની સરેરાશ = (2 + 6)/2 = 4.
  • y ની સરેરાશ = (4 + 8)/2 = 6.
  • જવાબ (4, 6).

4. વિભાજન બિંદુ (Section Formula)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • બે બિંદુ (x1, y1) અને (x2, y2) ને m:n ગુણોત્તરમાં અંતર્વિભાજિત કરતું બિંદુ શોધવાનું હોય.
  • પગલું 1: x માટે = (m × x2 + n × x1)/(m + n).
  • પગલું 2: y માટે = (m × y2 + n × y1)/(m + n).
  • ધ્યાન: દૂરના બિંદુ (x2) સાથે પહેલો ભાગ m ગુણાય, નજીકના (x1) સાથે n. એ ક્રમ યાદ રાખવો જરૂરી છે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ગુણોત્તર 1:1 હોય તો એ માત્ર મધ્યબિંદુ જ છે — સરેરાશ લઈ લો.
  • યાદ રાખવાની યુક્તિ: ગુણોત્તર ઊલટું ગુણાય. m:n માં m દૂરના બિંદુ સાથે અને n નજીકના સાથે.
  • ભાજક હંમેશા (m + n) — એ આખા ભાગ માટે એક જ વાર ગણો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: (2, 3) અને (8, 9) ને 1:2 ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ?
  • x = (1×8 + 2×2)/(1+2) = (8 + 4)/3 = 12/3 = 4.
  • y = (1×9 + 2×3)/3 = (9 + 6)/3 = 15/3 = 5.
  • જવાબ (4, 5).

5. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ યામ પરથી (Area from Coordinates)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • ત્રણ શિરોબિંદુ (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) આપ્યા હોય.
  • સૂત્ર: ક્ષેત્રફળ = ½ |x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|.
  • પગલું 1: દરેક x ને બાકીના બેના y તફાવત સાથે ગુણો.
  • પગલું 2: ત્રણેય ઉમેરો, સંપૂર્ણ મૂલ્ય (ધન) લો, અડધું કરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જો ત્રિકોણ કાટકોણ હોય અને બે બાજુ અક્ષને સમાંતર હોય તો સીધું ક્ષેત્રફળ = ½ × પાયો × ઊંચાઈ.
  • મૂળબિંદુ (0,0) શિરોબિંદુ હોય તો સૂત્ર ટૂંકું: ½ |x2·y3 − x3·y2|.
  • જવાબ 0 આવે તો ત્રણેય બિંદુ સમરેખ છે — ત્રિકોણ બનતો જ નથી.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: (0, 0), (4, 0), (0, 6) વાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ?
  • બે બાજુ અક્ષ પર છે, એટલે પાયો = 4, ઊંચાઈ = 6.
  • ક્ષેત્રફળ = ½ × 4 × 6 = 12.
  • જવાબ 12.

6. સમરેખ બિંદુઓ (Collinear Points)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • ત્રણ બિંદુ એક જ સીધી રેખા પર છે કે નહીં તે તપાસવાનું હોય.
  • પગલું 1: પહેલા બે બિંદુનો ઢાળ શોધો = (y2 − y1)/(x2 − x1).
  • પગલું 2: બીજા બે બિંદુનો ઢાળ શોધો = (y3 − y2)/(x3 − x2).
  • પગલું 3: બંને ઢાળ સરખા હોય તો બિંદુઓ સમરેખ. (અથવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 0 આવે તો પણ સમરેખ.)

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ઢાળ સરખા હોવા જ સમરેખનો સૌથી ઝડપી રસ્તો — ક્ષેત્રફળ સૂત્ર કરતાં ટૂંકો.
  • k શોધવાનો પ્રશ્ન હોય તો: પહેલા જાણીતા બે બિંદુનો ઢાળ કાઢો, પછી એ ઢાળ વાપરી k ની સમીકરણ બનાવો.
  • x સરખા હોય (ઊભી રેખા) અને ત્રીજાનો x પણ સરખો હોય તો સીધા સમરેખ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: (1, 2), (2, 4), (3, k) સમરેખ હોય તો k?
  • પહેલા બેનો ઢાળ = (4 − 2)/(2 − 1) = 2.
  • સમરેખ માટે (k − 4)/(3 − 2) = 2, એટલે k − 4 = 2.
  • k = 6.

7. ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તર — sin, cos, tan

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • કાટકોણ ત્રિકોણમાં ખૂણા θ ની સામેની બાજુ = સામેની બાજુ, θ ને અડીને બાજુ = પાસેની બાજુ, સૌથી મોટી (કાટખૂણા સામેની) = કર્ણ.
  • sin θ = સામેની બાજુ / કર્ણ.
  • cos θ = પાસેની બાજુ / કર્ણ.
  • tan θ = સામેની બાજુ / પાસેની બાજુ (એટલે કે sin θ / cos θ).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • યાદ રાખવાનું વાક્ય: પા-કા, પા-કા, સા-પા — એટલે sin = સામે/કર્ણ, cos = પાસે/કર્ણ, tan = સામે/પાસે.
  • જો sin આપ્યું હોય તો બીજી બાજુ પાયથાગોરસથી શોધો, પછી cos અને tan સીધા મળે.
  • ઘણા પ્રશ્નોમાં 3-4-5 ત્રિકોણ વપરાય — sin = 3/5, cos = 4/5, tan = 3/4 સીધા યાદ રાખો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: cos θ = 4/5 હોય તો sin θ? (θ લઘુકોણ)
  • cos = પાસે/કર્ણ = 4/5, એટલે પાસે = 4, કર્ણ = 5.
  • પાયથાગોરસથી સામેની બાજુ = √(25 − 16) = 3.
  • sin θ = સામે/કર્ણ = 3/5. જવાબ 3/5.

8. પ્રમાણભૂત મૂલ્યો ટેબલ (0, 30, 45, 60, 90)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • sin ના મૂલ્યો ક્રમમાં: sin 0 = 0, sin 30 = 1/2, sin 45 = 1/√2, sin 60 = √3/2, sin 90 = 1.
  • cos ના મૂલ્યો એ જ ક્રમમાં ઊલટા: cos 0 = 1, cos 30 = √3/2, cos 45 = 1/√2, cos 60 = 1/2, cos 90 = 0.
  • tan = sin/cos: tan 0 = 0, tan 30 = 1/√3, tan 45 = 1, tan 60 = √3, tan 90 = અનંત.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • આંગળીની યુક્તિ — sin માટે 0, 1, 2, 3, 4 લખો, દરેકને 4 વડે ભાગો, પછી વર્ગમૂળ લો: √0, √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4) = 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1.
  • cos માટે એ જ યાદી ઊલટી વાંચો.
  • tan ભૂલી જાવ તો ગભરાવ નહીં — એ જ ખૂણાનો sin ભાગ્યા cos કરો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 5 sin²30° + 4 cos²45° નું મૂલ્ય?
  • sin 30 = 1/2, એટલે sin²30 = 1/4. cos 45 = 1/√2, એટલે cos²45 = 1/2.
  • 5 × 1/4 + 4 × 1/2 = 5/4 + 2 = 5/4 + 8/4 = 13/4.
  • જવાબ 13/4.

9. પૂરક ખૂણા (sinθ = cos(90−θ))

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • બે ખૂણાનો સરવાળો 90° થાય તો એ પૂરક ખૂણા કહેવાય.
  • નિયમ: sin θ = cos (90° − θ) અને cos θ = sin (90° − θ).
  • એ જ રીતે tan θ = cot (90° − θ).
  • પગલું: જ્યારે sin = cos વાળું સમીકરણ આવે, એક બાજુને 90° − ખૂણા સ્વરૂપે લખી બે ખૂણા સરખા મૂકો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • sin (કોઈ ખૂણો) = cos (બીજો ખૂણો) આપ્યું હોય તો બંને ખૂણાનો સરવાળો સીધો 90° મૂકી દો.
  • દા.ત. sin θ = cos (θ − 30°) એટલે θ + (θ − 30°) = 90°, એટલે 2θ = 120°, એટલે θ = 60°.
  • sin 70°/cos 20° જેવા હોય તો 70 + 20 = 90 એટલે જવાબ સીધો 1.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: sin θ = cos (θ − 30°) હોય તો θ?
  • sin θ = cos (90° − θ), એટલે 90° − θ = θ − 30°.
  • 120° = 2θ, એટલે θ = 60°.
  • જવાબ 60°.

10. નિત્યસમ — sin²θ + cos²θ = 1

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • મૂળભૂત નિત્યસમ: sin²θ + cos²θ = 1 — હંમેશા, દરેક ખૂણા માટે સાચું.
  • આમાંથી મળે: sin²θ = 1 − cos²θ અને cos²θ = 1 − sin²θ.
  • પગલું: એક ગુણોત્તર આપ્યું હોય તો બીજાનો વર્ગ આ સૂત્રથી શોધી, વર્ગમૂળ લો.
  • બીજા બે નિત્યસમ પણ છે: 1 + tan²θ = sec²θ અને 1 + cot²θ = cosec²θ.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • sin અને cos નો વર્ગ ઉમેરો એટલે હંમેશા 1 — એ સીધો જવાબ ગણાય.
  • sin આપ્યું હોય તો cos સીધું શોધવા 3-4-5 જેવી જોડી ઓળખો: sin = 3/5 હોય તો cos = 4/5.
  • (1 − cos²θ) જેવું દેખાય તો તરત sin²θ લખી નાખો — ગણતરી ટૂંકાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: cos θ = 4/5 હોય તો sin θ?
  • sin²θ = 1 − cos²θ = 1 − 16/25 = 9/25.
  • sin θ = √(9/25) = 3/5.
  • જવાબ 3/5.

11. ઊંચાઈ અને અંતર (ઉન્નતિ ખૂણા 30/45/60)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • જમીન પરના બિંદુથી ઊંચી વસ્તુની ટોચ સાથેનો ખૂણો = ઉન્નતિ ખૂણો.
  • ચિત્ર દોરો: જમીન પરનું અંતર = પાસેની બાજુ, ઊંચાઈ = સામેની બાજુ.
  • tan (ઉન્નતિ ખૂણો) = ઊંચાઈ / અંતર વાપરો.
  • પગલું: ખૂણાનું tan મૂલ્ય મૂકી, ઊંચાઈ અથવા અંતર માટે ઉકેલો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • 45° હોય તો ઊંચાઈ = અંતર (કેમ કે tan 45 = 1). બીજો કોઈ ગણતરી નહીં.
  • 30° હોય તો ઊંચાઈ = અંતર / √3 (નાનું). 60° હોય તો ઊંચાઈ = અંતર × √3 (મોટું).
  • આંકડામાં √3 દેખાય (જેમ કે 50√3) તો સામાન્ય રીતે √3 કપાઈ ગોળ જવાબ આવે — એ સંકેત છે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ટાવરથી 50√3 મીટર દૂરથી ટોચનો ઉન્નતિ ખૂણો 30°. ઊંચાઈ?
  • tan 30° = ઊંચાઈ / (50√3), એટલે 1/√3 = ઊંચાઈ / (50√3).
  • ઊંચાઈ = 50√3 / √3 = 50.
  • જવાબ 50 મીટર.

12. પાયથાગોરસ અને ત્રિકોણ ખૂણા સરવાળો

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પાયથાગોરસ પ્રમેય (કાટકોણ ત્રિકોણ): કર્ણ² = પાયો² + ઊંચાઈ².
  • કર્ણ શોધવો હોય: કર્ણ = √(પાયો² + ઊંચાઈ²). એક પાયો શોધવો હોય: પાયો = √(કર્ણ² − બીજો²).
  • ત્રિકોણ ખૂણા સરવાળો: કોઈ પણ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો = 180°.
  • બે ખૂણા આપ્યા હોય તો ત્રીજો = 180° − (બે ખૂણાનો સરવાળો).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • પાયથાગોરસ જોડકાં મોઢે રાખો: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17, 9-12-15. વર્ગ ગણ્યા વગર કર્ણ સીધો બોલો.
  • ત્રીજો ખૂણો = 180 માંથી બાકીના બે બાદ — સેકન્ડમાં થાય.
  • સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં બે ખૂણા સરખા હોય; સમબાજુમાં ત્રણેય 60°.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન 1: બે પાયા 6 અને 8 હોય તો કર્ણ? — 6-8-10 જોડકું, કર્ણ = 10.
  • પ્રશ્ન 2: ત્રિકોણના બે ખૂણા 50° અને 60° હોય તો ત્રીજો?
  • ત્રીજો = 180° − (50° + 60°) = 180° − 110° = 70°.
  • જવાબ 70°.

13. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો (Cheat-sheet)

યામભૂમિતિ સૂત્રો

  • •અંતર = √((x2−x1)² + (y2−y1)²)
  • •મધ્યબિંદુ = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
  • •વિભાજન (m:n) = ((m·x2 + n·x1)/(m+n), (m·y2 + n·y1)/(m+n))
  • •ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળ = ½ |x1(y2−y3) + x2(y3−y1) + x3(y1−y2)|
  • •સમરેખ: ત્રણ બિંદુના ઢાળ સરખા (અથવા ક્ષેત્રફળ = 0)
  • •ઢાળ = (y2−y1)/(x2−x1)

ત્રિકોણમિતિ ટેબલ

  • •ખૂણા: 0° 30° 45° 60° 90°
  • •sin: 0 1/2 1/√2 √3/2 1
  • •cos: 1 √3/2 1/√2 1/2 0
  • •tan: 0 1/√3 1 √3 અનંત

મુખ્ય નિયમો

  • •sin = સામે/કર્ણ, cos = પાસે/કર્ણ, tan = સામે/પાસે = sin/cos
  • •sin²θ + cos²θ = 1
  • •sin θ = cos (90° − θ); પૂરક ખૂણાનો સરવાળો 90°
  • •ઊંચાઈ-અંતર: tan (ઉન્નતિ ખૂણો) = ઊંચાઈ / અંતર
  • •પાયથાગોરસ: કર્ણ² = પાયો² + ઊંચાઈ²; જોડકાં 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13
  • •ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો = 180°

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.