મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
PariksaPath
Start free
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — ક્ષેત્રફળ, પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. પ્રસ્તાવના — 2D અને 3D આકૃતિઓ

મૂળ સમજ

  • •ક્ષેત્રમિતિ એટલે આકૃતિઓની લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ માપવાનું ગણિત.
  • •2D (દ્વિ-પરિમાણ) આકૃતિ સપાટ હોય — તેને ફક્ત લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય. દા.ત. ચોરસ, વર્તુળ, ત્રિકોણ.
  • •2D માં બે માપ આવે — પરિમિતિ (કિનારાની લંબાઈ, એકમ સેમી) અને ક્ષેત્રફળ (અંદરની જગ્યા, એકમ ચોસેમી).
  • •3D (ત્રિ-પરિમાણ) આકૃતિ ઘન હોય — તેને લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ ત્રણેય હોય. દા.ત. ઘન, નળાકાર, ગોળો.
  • •3D માં બે માપ આવે — પૃષ્ઠફળ (બહારની સપાટી, એકમ ચોસેમી) અને ઘનફળ (અંદરની જગ્યા, એકમ ઘસેમી).

એકમ યાદ રાખવાની ચાવી

  • •લંબાઈ માટે એક ઘાત — સેમી.
  • •ક્ષેત્રફળ અને પૃષ્ઠફળ માટે બે ઘાત — ચોસેમી (ચોરસ સેમી).
  • •ઘનફળ માટે ત્રણ ઘાત — ઘસેમી (ઘન સેમી).
  • •આખા પ્રકરણમાં π = 22/7 વાપરો — ત્રિજ્યા 7 કે 14 હોય ત્યારે ગણતરી સહેલી થાય.

2. લંબચોરસ અને ચોરસ — ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • લંબચોરસ માટે લંબાઈ (l) અને પહોળાઈ (b) ઓળખો.
  • ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ = l × b.
  • પરિમિતિ = 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) = 2(l + b).
  • ચોરસ માટે બધી બાજુ સરખી (a). ક્ષેત્રફળ = બાજુ × બાજુ = a × a.
  • ચોરસની પરિમિતિ = 4 × બાજુ = 4a.
  • ચોરસનો કર્ણ = બાજુ × √2 = a√2.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = બાજુનો વર્ગ — બાજુને બે વાર ગુણો, બસ.
  • જો ચોરસનો કર્ણ (d) આપ્યો હોય તો સીધું ક્ષેત્રફળ = d² ÷ 2. બાજુ શોધવાની જરૂર નથી.
  • લંબચોરસમાં પરિમિતિ આપી હોય તો લંબાઈ + પહોળાઈ = પરિમિતિ ÷ 2 — તરત મળે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ચોરસનો કર્ણ 10 સેમી છે, ક્ષેત્રફળ કેટલું?
  • ટ્રિકથી: ક્ષેત્રફળ = d² ÷ 2 = 100 ÷ 2 = 50 ચોસેમી.
  • જવાબ: 50 ચોસેમી.

3. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (હેરોન સહિત)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • સામાન્ય ત્રિકોણ: પાયો (b) અને વેધ એટલે કે ઊંચાઈ (h) ઓળખો.
  • ક્ષેત્રફળ = 1/2 × પાયો × વેધ = (1/2) × b × h.
  • સમબાજુ ત્રિકોણ (બધી બાજુ a સરખી): ક્ષેત્રફળ = (√3 ÷ 4) × a².
  • જ્યારે ફક્ત ત્રણ બાજુ આપી હોય ત્યારે હેરોનનું સૂત્ર વાપરો.
  • પ્રથમ અર્ધ-પરિમિતિ s = (a + b + c) ÷ 2 શોધો.
  • પછી ક્ષેત્રફળ = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • સમબાજુ ત્રિકોણ માટે ગુણાંક યાદ રાખો — ક્ષેત્રફળ ≈ 0.43 × બાજુનો વર્ગ.
  • કાટકોણ ત્રિકોણમાં બે કાટખૂણાવાળી બાજુઓ જ પાયો અને વેધ બને — ક્ષેત્રફળ = 1/2 × પહેલી બાજુ × બીજી બાજુ.
  • હેરોન માટે 3-4-5 કે 5-12-13 જેવા જાણીતા ત્રિગુણ દેખાય તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે — સીધું 1/2 × પગ × પગ કરો, હેરોન ટાળો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 13, 14, 15 સેમી બાજુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ?
  • s = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21.
  • ક્ષેત્રફળ = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84.
  • જવાબ: 84 ચોસેમી.

4. વર્તુળ — ક્ષેત્રફળ અને પરિઘ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) ઓળખો. વ્યાસ આપ્યો હોય તો ત્રિજ્યા = વ્યાસ ÷ 2.
  • ક્ષેત્રફળ = π × ત્રિજ્યા² = π r². π = 22/7 લો.
  • પરિઘ (કિનારાની લંબાઈ) = 2 × π × ત્રિજ્યા = 2π r.
  • વર્તુળખંડ (sector) નું ક્ષેત્રફળ = (કોણ ÷ 360) × π r².
  • ચાપની લંબાઈ = (કોણ ÷ 360) × 2π r.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ત્રિજ્યા 7 ના ગુણાંક (7, 14, 21...) હોય ત્યારે π = 22/7 માં 7 કપાઈ જાય — ગણતરી ઝડપી.
  • r = 7 માટે ક્ષેત્રફળ = 154 ચોસેમી અને પરિઘ = 44 સેમી — આ બે આંકડા સીધા યાદ રાખો.
  • વ્યાસ બમણો થાય તો ક્ષેત્રફળ ચાર ગણું થાય (વર્ગના કારણે).

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ત્રિજ્યા 14 સેમીના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ?
  • ક્ષેત્રફળ = π r² = (22/7) × 14 × 14 = 22 × 2 × 14 = 616.
  • જવાબ: 616 ચોસેમી.

5. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ, સમબાજુ ચતુષ્કોણ, સમલંબ ચતુષ્કોણ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ: ક્ષેત્રફળ = પાયો × ઊંચાઈ = b × h.
  • સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus): ક્ષેત્રફળ = 1/2 × કર્ણ1 × કર્ણ2 = (1/2) × d1 × d2.
  • સમબાજુ ચતુષ્કોણ બીજી રીતે: ક્ષેત્રફળ = પાયો × ઊંચાઈ પણ વાપરી શકાય.
  • સમલંબ ચતુષ્કોણ (trapezium): બે સમાંતર બાજુ a અને b અને તેમની વચ્ચેનું અંતર h ઓળખો.
  • સમલંબનું ક્ષેત્રફળ = 1/2 × (સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો) × ઊંચાઈ = (1/2) × (a + b) × h.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • સમબાજુ ચતુષ્કોણ માટે ફક્ત બે કર્ણ ગુણીને અડધું કરો — બાજુ કે ઊંચાઈની જરૂર નથી.
  • સમલંબમાં 'સરેરાશ સમાંતર બાજુ × ઊંચાઈ' એમ વિચારો: (a+b)÷2 ને h વડે ગુણો.
  • સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ અને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર સરખું જ — પાયો × ઊંચાઈ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર બાજુઓ 12 અને 8 સેમી, ઊંચાઈ 5 સેમી. ક્ષેત્રફળ?
  • ક્ષેત્રફળ = 1/2 × (12 + 8) × 5 = 1/2 × 20 × 5 = 50.
  • જવાબ: 50 ચોસેમી.

6. ઘન અને લંબઘન — ઘનફળ, પૃષ્ઠફળ, કર્ણ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • ઘન (cube) ની બધી બાજુ સરખી (a). ઘનફળ = a × a × a = a³.
  • ઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = 6 × a² (છ સરખા ચોરસ).
  • ઘનનો કર્ણ = a√3.
  • લંબઘન (cuboid): લંબાઈ l, પહોળાઈ b, ઊંચાઈ h. ઘનફળ = l × b × h.
  • લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = 2(lb + bh + hl).
  • લંબઘનનો કર્ણ = √(l² + b² + h²).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ઘન માટે ત્રણેય માપ સરખા — ઘનફળ માટે બાજુનો ઘન, પૃષ્ઠફળ માટે બાજુનો વર્ગ × 6.
  • ઘનનું ઘનફળ આપ્યું હોય તો બાજુ = ઘનમૂળ; પછી પૃષ્ઠફળ સહેલાઈથી મળે.
  • લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ યાદ રાખવા: ત્રણ જોડ ગુણાકાર (lb, bh, hl) સરવાળો કરી બમણું કરો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 4 સેમી બાજુવાળા ઘનનું ઘનફળ અને કુલ પૃષ્ઠફળ?
  • ઘનફળ = a³ = 4 × 4 × 4 = 64 ઘસેમી.
  • પૃષ્ઠફળ = 6a² = 6 × 16 = 96 ચોસેમી.
  • જવાબ: ઘનફળ 64 ઘસેમી, પૃષ્ઠફળ 96 ચોસેમી.

7. નળાકાર — ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • નળાકારની ત્રિજ્યા (r) અને ઊંચાઈ (h) ઓળખો.
  • ઘનફળ = π × ત્રિજ્યા² × ઊંચાઈ = π r² h.
  • વક્ર પૃષ્ઠફળ (બાજુની સપાટી) = 2π r h.
  • કુલ પૃષ્ઠફળ = 2π r h + 2π r² = 2π r (h + r) (બે વર્તુળાકાર છેડા ઉમેરાય).
  • π = 22/7 લો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • વક્ર પૃષ્ઠફળ એટલે કાગળ વીંટ્યો હોય તેવી લંબચોરસ — પહોળાઈ = પરિઘ (2π r), ઊંચાઈ = h. તેથી 2π r h.
  • કુલ પૃષ્ઠફળ માટે 2π r ને બહાર કાઢી (h + r) વડે ગુણો — એક જ ગુણાકાર.
  • ત્રિજ્યા 7 ના ગુણાંક હોય ત્યારે 22/7 માં 7 કપાય — ઝડપી.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ત્રિજ્યા 7 સેમી, ઊંચાઈ 10 સેમીના નળાકારનું ઘનફળ?
  • ઘનફળ = π r² h = (22/7) × 7 × 7 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540.
  • જવાબ: 1540 ઘસેમી.

8. શંકુ — ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • શંકુની ત્રિજ્યા (r), ઊંચાઈ (h) અને તિરછી ઊંચાઈ એટલે કે ત્રાંસી લંબાઈ (l) ઓળખો.
  • ત્રણેય વચ્ચે સંબંધ: l² = r² + h², એટલે l = √(r² + h²).
  • ઘનફળ = 1/3 × π × ત્રિજ્યા² × ઊંચાઈ = (1/3) π r² h.
  • વક્ર પૃષ્ઠફળ = π × ત્રિજ્યા × તિરછી ઊંચાઈ = π r l.
  • કુલ પૃષ્ઠફળ = π r l + π r² = π r (l + r).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • શંકુનું ઘનફળ સમાન પાયા-ઊંચાઈવાળા નળાકારના ઘનફળનો બરાબર ત્રીજો ભાગ — એટલે π r² h ને 3 વડે ભાગો.
  • તિરછી ઊંચાઈ માટે r અને h ને 3-4-5 ત્રિગુણ તરીકે જુઓ: r=3, h=4 હોય તો l=5 સીધું.
  • કુલ પૃષ્ઠફળ = π r (l + r) — π r બહાર કાઢી એક જ વાર ગુણો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ત્રિજ્યા 7 સેમી, ઊંચાઈ 24 સેમીના શંકુની તિરછી ઊંચાઈ અને વક્ર પૃષ્ઠફળ?
  • l = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 સેમી.
  • વક્ર પૃષ્ઠફળ = π r l = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550.
  • જવાબ: તિરછી ઊંચાઈ 25 સેમી, વક્ર પૃષ્ઠફળ 550 ચોસેમી.

9. ગોળો અને અર્ધગોળો — ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • ગોળાની ત્રિજ્યા (r) ઓળખો.
  • ગોળાનું ઘનફળ = 4/3 × π × ત્રિજ્યા³ = (4/3) π r³.
  • ગોળાનું પૃષ્ઠફળ = 4 × π × ત્રિજ્યા² = 4π r².
  • અર્ધગોળાનું ઘનફળ = 2/3 × π r³ (ગોળાનું અડધું).
  • અર્ધગોળાનું વક્ર પૃષ્ઠફળ = 2π r².
  • અર્ધગોળાનું કુલ પૃષ્ઠફળ = 2π r² + π r² = 3π r² (સપાટ વર્તુળ ઉમેરાય).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ગોળાનું પૃષ્ઠફળ = તેના મોટા વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું ચાર ગણું (4 × π r²).
  • અર્ધગોળાનું કુલ પૃષ્ઠફળ યાદ રાખવા સહેલું — 3π r² (વક્ર 2 + સપાટ 1 ભાગ).
  • ઘનફળમાં ત્રિજ્યાનો ઘન આવે, તેથી ત્રિજ્યા બમણી થાય તો ઘનફળ આઠ ગણું.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ત્રિજ્યા 7 સેમીના ગોળાનું પૃષ્ઠફળ?
  • પૃષ્ઠફળ = 4π r² = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616.
  • જવાબ: 616 ચોસેમી.

10. માપ બદલાવાની અસર — ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ પર

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • જો કોઈ આકૃતિના બધા માપ k ગણા થાય, તો અસર માપના ઘાત પ્રમાણે આવે.
  • લંબાઈ (એક ઘાત) k ગણી થાય.
  • ક્ષેત્રફળ (બે ઘાત) k² ગણું થાય.
  • ઘનફળ (ત્રણ ઘાત) k³ ગણું થાય.
  • ટકાવારી ફેરફાર માટે: ગુણાંક પ્રમાણે નવો-જૂનો તફાવત શોધો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બાજુ બમણી (k=2): ક્ષેત્રફળ 4 ગણું, ઘનફળ 8 ગણું.
  • બાજુ 10% વધે (k=1.1): ક્ષેત્રફળ ≈ 21% વધે, ઘનફળ ≈ 33.1% વધે.
  • ઝડપી નિયમ: ક્ષેત્રફળમાં ~2 ગણો ટકા ફેરફાર, ઘનફળમાં ~3 ગણો ટકા ફેરફાર (નાના ફેરફાર માટે અંદાજે).

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ઘનની બાજુ બમણી કરવામાં આવે તો ઘનફળ કેટલા ગણું થાય?
  • k = 2, ઘનફળ ઘાત 3, એટલે k³ = 2³ = 8.
  • જવાબ: 8 ગણું.

11. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો — સૂત્ર ચીટ-શીટ

2D ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ

  • •ચોરસ: ક્ષેત્રફળ = a², પરિમિતિ = 4a, કર્ણ = a√2.
  • •લંબચોરસ: ક્ષેત્રફળ = l × b, પરિમિતિ = 2(l + b).
  • •ત્રિકોણ: ક્ષેત્રફળ = 1/2 × પાયો × વેધ; હેરોન = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].
  • •સમબાજુ ત્રિકોણ: ક્ષેત્રફળ = (√3/4) a².
  • •વર્તુળ: ક્ષેત્રફળ = π r², પરિઘ = 2π r.
  • •સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ: ક્ષેત્રફળ = પાયો × ઊંચાઈ.
  • •સમબાજુ ચતુષ્કોણ: ક્ષેત્રફળ = 1/2 × d1 × d2.
  • •સમલંબ ચતુષ્કોણ: ક્ષેત્રફળ = 1/2 × (a + b) × h.

3D ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળ

  • •ઘન: ઘનફળ = a³, કુલ પૃષ્ઠફળ = 6a², કર્ણ = a√3.
  • •લંબઘન: ઘનફળ = l × b × h, કુલ પૃષ્ઠફળ = 2(lb + bh + hl), કર્ણ = √(l² + b² + h²).
  • •નળાકાર: ઘનફળ = π r² h, વક્ર પૃષ્ઠફળ = 2π r h, કુલ પૃષ્ઠફળ = 2π r (h + r).
  • •શંકુ: ઘનફળ = 1/3 π r² h, વક્ર પૃષ્ઠફળ = π r l, કુલ પૃષ્ઠફળ = π r (l + r), l = √(r² + h²).
  • •ગોળો: ઘનફળ = 4/3 π r³, પૃષ્ઠફળ = 4π r².
  • •અર્ધગોળો: ઘનફળ = 2/3 π r³, વક્ર પૃષ્ઠફળ = 2π r², કુલ પૃષ્ઠફળ = 3π r².

ઝડપી નિયમો

  • •π = 22/7; ત્રિજ્યા 7 ના ગુણાંક હોય ત્યારે ગણતરી સૌથી સહેલી.
  • •બધા માપ k ગણા થાય: ક્ષેત્રફળ k² ગણું, ઘનફળ k³ ગણું.
  • •એકમ: લંબાઈ સેમી, ક્ષેત્રફળ/પૃષ્ઠફળ ચોસેમી, ઘનફળ ઘસેમી.
  • •r = 7 યાદ રાખો: વર્તુળ ક્ષેત્રફળ 154, પરિઘ 44, ગોળો પૃષ્ઠફળ 616.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.