મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
PariksaPath
Start free
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — બહુપદી અને અવયવીકરણ

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. બહુપદી એટલે શું? (ઘાત અને પ્રકાર)

પાયાની સમજ

  • •બહુપદી એટલે ચલ (x) અને અચળ સંખ્યાઓથી બનેલું પદાવલિ, જેમાં x ની ઘાત હંમેશા પૂર્ણ સંખ્યા (0, 1, 2, 3...) જ હોય. દા.ત. 3x² + 2x − 5.
  • •ઘાત (degree) એટલે બહુપદીમાં x ની સૌથી મોટી ઘાત. દા.ત. 3x⁴ + 2x² − 7 ની ઘાત 4 છે.
  • •દરેક પદનો ગુણાંક (coefficient) એટલે x ની આગળની સંખ્યા. દા.ત. 3x² માં ગુણાંક 3.
  • •જે પદમાં x ન હોય તેને અચળ પદ (constant term) કહે છે. દા.ત. −7.

ઘાત પ્રમાણે પ્રકાર

  • •ઘાત 0 — અચળ બહુપદી. દા.ત. 7 (ફક્ત સંખ્યા).
  • •ઘાત 1 — રેખીય (linear) બહુપદી. દા.ત. 2x + 5.
  • •ઘાત 2 — દ્વિઘાત (quadratic) બહુપદી. દા.ત. x² − 5x + 6.
  • •ઘાત 3 — ત્રિઘાત (cubic) બહુપદી. દા.ત. x³ − 8.
  • •યાદ રાખો: ફક્ત સંખ્યા હોય તો ઘાત 0; પણ સંખ્યા 0 એકલી હોય તો તેની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

2. બહુપદીની કિંમત (p(x) at given x)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • જે કિંમત આપી હોય તે x ની જગ્યાએ મૂકો. દા.ત. p(2) શોધવા હોય તો દરેક x ની જગ્યાએ 2 લખો.
  • ઘાત પહેલા ગણો: 2² = 4, 2³ = 8 એમ.
  • પછી ગુણાકાર કરો, અને છેલ્લે સરવાળો-બાદબાકી કરો.
  • જે જવાબ આવે તે જ p(2) ની કિંમત.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • p(0) = ફક્ત અચળ પદ. બાકી બધા પદમાં x હોવાથી 0 થઈ જાય. દા.ત. x³ − 2x + 1 માં p(0) = 1.
  • p(1) = બધા ગુણાંકોનો સરવાળો. દા.ત. x² − 3x + 2 માં p(1) = 1 − 3 + 2 = 0.
  • જો p(કોઈ સંખ્યા) = 0 આવે, તો તે સંખ્યા બહુપદીનું શૂન્ય છે — સાથે જ જવાબ મળી જાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • p(x) = x² − 3x + 2 માટે p(1) શોધો.
  • x ની જગ્યાએ 1 મૂકો: p(1) = 1² − 3(1) + 2.
  • = 1 − 3 + 2 = 0.
  • જવાબ: p(1) = 0 (એટલે 1 એ આ બહુપદીનું શૂન્ય પણ છે).

3. બહુપદીના શૂન્ય (zeroes શોધવા)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • શૂન્ય એટલે x ની તે કિંમત જ્યાં p(x) = 0 થાય.
  • રેખીય બહુપદી માટે: પદાવલિને 0 બરાબર મૂકી x ઉકેલો. દા.ત. x − 5 = 0, એટલે x = 5.
  • દ્વિઘાત માટે: પહેલા અવયવ પાડો, પછી દરેક અવયવને 0 બરાબર મૂકો.
  • દા.ત. (x − 1)(x − 3) = 0 માંથી x = 1 અને x = 3.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • અવયવ (x − a) હોય તો શૂન્ય +a; અવયવ (x + a) હોય તો શૂન્ય −a (ચિહ્ન બદલાય).
  • દ્વિઘાત x² + bx + c માં: બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો સરવાળો −b અને ગુણાકાર c — તે જ બે શૂન્ય છે.
  • x − 5 પ્રકારની રેખીય બહુપદીમાં શૂન્ય તરત = અચળ પદનું ઊલટું ચિહ્ન સાથેનું મૂલ્ય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • p(x) = x² − 4x + 3 ના શૂન્ય શોધો.
  • ગુણાકાર 3 અને સરવાળો 4 આપતી સંખ્યાઓ: 1 અને 3.
  • અવયવ: (x − 1)(x − 3) = 0.
  • જવાબ: શૂન્યો x = 1 અને x = 3.

4. શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર (α+β = −b/a, αβ = c/a)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + c ને ઓળખો — a, b, c કિંમતો નોંધો.
  • શૂન્યોનો સરવાળો (α + β) = −b/a.
  • શૂન્યોનો ગુણાકાર (αβ) = c/a.
  • અહીં ચિહ્નનું ધ્યાન રાખવું ખૂબ જરૂરી છે — b ની આગળ ઋણ ચિહ્ન છે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જ્યારે a = 1 હોય (x² + bx + c) ત્યારે: સરવાળો = b નું ઊલટું ચિહ્ન; ગુણાકાર = c જેમ છે તેમ.
  • દા.ત. x² − 5x + 6: સરવાળો = +5, ગુણાકાર = +6 — અવયવ પાડ્યા વગર સીધો જવાબ.
  • 1/α + 1/β પૂછે તો = (α + β)/(αβ) = (સરવાળો)/(ગુણાકાર). દા.ત. 5/6.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • x² − 5x + 6 ના શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર શોધો.
  • અહીં a = 1, b = −5, c = 6.
  • સરવાળો = −b/a = −(−5)/1 = 5.
  • ગુણાકાર = c/a = 6/1 = 6.
  • જવાબ: સરવાળો 5, ગુણાકાર 6.

5. શૂન્યો પરથી દ્વિઘાત બહુપદી બનાવવી

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • આપેલા બે શૂન્યોનો સરવાળો (S) ગણો.
  • આપેલા બે શૂન્યોનો ગુણાકાર (P) ગણો.
  • બહુપદી = x² − (સરવાળો)x + (ગુણાકાર), એટલે x² − Sx + P.
  • ચિહ્ન ધ્યાનથી મૂકો — સરવાળાની આગળ હંમેશા ઋણ ચિહ્ન આવે છે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ફોર્મ્યુલા સીધી યાદ રાખો: x² − (સરવાળો)x + (ગુણાકાર).
  • જો સરવાળો આપ્યો જ હોય તો અવયવ પાડવાની જરૂર નથી — સીધી મૂકી દો.
  • જો શૂન્ય ઋણ હોય તો સરવાળો-ગુણાકાર ગણતી વખતે ચિહ્ન સાચવો. દા.ત. 2 અને −5: S = −3, P = −10.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • જેના શૂન્યો 2 અને −5 હોય તેવી દ્વિઘાત બહુપદી બનાવો.
  • સરવાળો = 2 + (−5) = −3.
  • ગુણાકાર = 2 × (−5) = −10.
  • બહુપદી = x² − (−3)x + (−10) = x² + 3x − 10.
  • જવાબ: x² + 3x − 10.

6. મધ્યપદ વિભાજનથી અવયવીકરણ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • ax² + bx + c માં પહેલા a × c નો ગુણાકાર શોધો.
  • બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર = a×c અને સરવાળો = b.
  • મધ્યપદ bx ને તે બે સંખ્યાઓમાં વહેંચો અને ચાર પદ લખો.
  • પ્રથમ બે અને છેલ્લા બે પદમાંથી સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢો, પછી કૌંસ ભેગો કરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જ્યારે a = 1 હોય (x² + bx + c): ફક્ત ગુણાકાર c અને સરવાળો b આપતી બે સંખ્યાઓ શોધો — તે જ બે કૌંસ. દા.ત. x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).
  • ચિહ્નનો નિયમ: c ધન અને b ધન હોય તો બંને સંખ્યા ધન; c ધન અને b ઋણ હોય તો બંને ઋણ.
  • c ઋણ હોય તો બે સંખ્યા વિરુદ્ધ ચિહ્નની — મોટી સંખ્યાનું ચિહ્ન b જેવું જ રાખો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • 2x² + 7x + 3 નું અવયવીકરણ કરો.
  • a×c = 2 × 3 = 6. સરવાળો 7 આપતી સંખ્યાઓ: 6 અને 1.
  • મધ્યપદ વહેંચો: 2x² + 6x + x + 3.
  • સામાન્ય અવયવ: 2x(x + 3) + 1(x + 3).
  • જવાબ: (2x + 1)(x + 3).

7. નિત્યસમ વડે અવયવીકરણ (a²−b², a³±b³)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પદાવલિ કયા નિત્યસમ (identity) ને મળતી આવે છે તે ઓળખો.
  • a² − b² = (a + b)(a − b) — બે પૂર્ણ વર્ગની બાદબાકી હોય ત્યારે.
  • a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
  • a અને b શોધી ફોર્મ્યુલામાં સીધા મૂકી દો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બે વર્ગ વચ્ચે ઋણ ચિહ્ન દેખાય તો તરત (a + b)(a − b). દા.ત. x² − 9 = (x + 3)(x − 3).
  • 9x² − 16 જેવામાં a = 3x, b = 4 લો — ગુણાંકનું પણ વર્ગમૂળ લેવાનું ભૂલશો નહીં.
  • ઘન (cube) માટે: a³ ± b³ માં પહેલો કૌંસ (a ± b); ત્રિપદી કૌંસમાં વચ્ચેનું ચિહ્ન ઊલટું થાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • x³ − 8 નું અવયવીકરણ કરો.
  • 8 = 2³, એટલે a = x, b = 2.
  • ફોર્મ્યુલા: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
  • = (x − 2)(x² + 2x + 4).
  • જવાબ: (x − 2)(x² + 2x + 4).

8. શેષ પ્રમેય (Remainder Theorem)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • જ્યારે p(x) ને (x − a) વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ = p(a).
  • ભાગાકાર જે વડે કરવાનો છે તેને 0 બરાબર મૂકી a શોધો. દા.ત. (x − 1) = 0 એટલે a = 1.
  • તે a ની કિંમત બહુપદીમાં મૂકો.
  • જે જવાબ આવે તે જ શેષ — આખો ભાગાકાર કરવાની જરૂર નથી.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • (x − a) વડે ભાગ હોય તો શેષ = p(a); (x + a) વડે ભાગ હોય તો શેષ = p(−a) (ચિહ્ન ઊલટું).
  • જો શેષ 0 આવે તો તે ભાગક પૂરો અવયવ છે.
  • (x − 1) વડે ભાગ હોય ત્યારે શેષ = બધા ગુણાંકોનો સરવાળો — તરત જવાબ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • p(x) = x² + 3x + 5 ને (x − 1) વડે ભાગતા શેષ શોધો.
  • x − 1 = 0 એટલે a = 1.
  • શેષ = p(1) = 1² + 3(1) + 5.
  • = 1 + 3 + 5 = 9.
  • જવાબ: શેષ = 9.

9. અવયવ પ્રમેય (Factor Theorem)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • (x − a) એ p(x) નો અવયવ છે કે કેમ તે ચકાસવા p(a) ગણો.
  • જો p(a) = 0 હોય તો (x − a) અવયવ છે; જો p(a) ≠ 0 હોય તો અવયવ નથી.
  • જો અજ્ઞાત (k જેવી) કિંમત શોધવી હોય, તો p(a) = 0 મૂકી સમીકરણ ઉકેલો.
  • આ શેષ પ્રમેયનો જ ખાસ કિસ્સો છે — જ્યાં શેષ 0 હોય.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • (x + a) અવયવ છે કે કેમ તે માટે p(−a) તપાસો — ચિહ્ન ઊલટું મૂકવાનું ભૂલશો નહીં.
  • અજ્ઞાત k હોય તો: p(a) = 0 એક જ સમીકરણ બને, તેમાંથી k સીધો મળે.
  • p(a) = 0 એટલે a એ બહુપદીનું શૂન્ય પણ છે — બંને એક જ વાત.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • જો (x − 2) એ p(x) = x³ − 3x² + kx − 2 નો અવયવ હોય, તો k શોધો.
  • અવયવ પ્રમેય મુજબ p(2) = 0.
  • p(2) = 8 − 12 + 2k − 2 = 0.
  • 2k − 6 = 0, એટલે 2k = 6.
  • જવાબ: k = 3.

10. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો (Cheat-sheet)

શૂન્યોના સરવાળા-ગુણાકાર

  • •દ્વિઘાત ax² + bx + c માટે: સરવાળો α + β = −b/a.
  • •ગુણાકાર αβ = c/a.
  • •શૂન્યો પરથી બહુપદી: x² − (સરવાળો)x + (ગુણાકાર).
  • •1/α + 1/β = (સરવાળો)/(ગુણાકાર).

જરૂરી નિત્યસમ (identities)

  • •a² − b² = (a + b)(a − b).
  • •a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
  • •a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
  • •(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b².

પ્રમેય અને ઝડપી નિયમો

  • •શેષ પ્રમેય: (x − a) વડે ભાગતા શેષ = p(a).
  • •અવયવ પ્રમેય: p(a) = 0 હોય તો (x − a) અવયવ; (x + a) માટે p(−a) તપાસો.
  • •p(0) = અચળ પદ; p(1) = બધા ગુણાંકોનો સરવાળો.
  • •મધ્યપદ વિભાજન: a×c નો ગુણાકાર, સરવાળો b — બે સંખ્યા શોધી મધ્યપદ વહેંચો.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.