મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — વર્ગમૂળ, ઘનમૂળ અને ઘાતાંક

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. પરિચય — વર્ગમૂળ, ઘનમૂળ અને ઘાતાંક શું છે?

મૂળ વાત સમજો

  • વર્ગ એટલે કોઈ સંખ્યાને પોતાનાથી જ એક વાર ગુણવી. જેમ કે 5 નો વર્ગ 5 × 5 = 25 થાય.
  • વર્ગમૂળ એ વર્ગની ઊલટી ક્રિયા છે. એટલે કે કઈ સંખ્યાનો વર્ગ આ સંખ્યા આપે? 25 નું વર્ગમૂળ 5 છે કેમ કે 5 × 5 = 25.
  • ઘન એટલે કોઈ સંખ્યાને પોતાનાથી જ બે વાર ગુણવી. જેમ કે 4 નો ઘન 4 × 4 × 4 = 64 થાય.
  • ઘનમૂળ એ ઘનની ઊલટી ક્રિયા છે. 64 નું ઘનમૂળ 4 છે કેમ કે 4 × 4 × 4 = 64.
  • ઘાતાંક એ ટૂંકી લખવાની રીત છે. એક સંખ્યાને કેટલી વાર ગુણવી એ ઉપર નાનો અંક બતાવે. જેમ કે 2 ઉપર 5 એટલે 2 ને પાંચ વાર ગુણવી.
  • આ આખા પ્રકરણમાં મોટા ભાગના કોયડા ગોખેલા વર્ગ અને ઘન યાદ હોય તો સેકન્ડોમાં છૂટી જાય છે, એટલે છેલ્લે આપેલી યાદી ગોખી લો.

આ પ્રકરણ કેમ મહત્વનું છે

  • પરીક્ષામાં વર્ગ, વર્ગમૂળ, ઘન અને ઘાતના સીધા સવાલ આવે છે અને એ ઝડપથી થાય તો સમય બચે.
  • આ વિષય આગળ ગુણોત્તર, ટકા, ભૂમિતિ અને બીજગણિતમાં પણ વારંવાર કામ લાગે છે.
  • ટ્રિક અને ગોખેલી યાદી સાથે દરેક સવાલ આશરે અડધી મિનિટમાં પૂરો કરી શકાય.

2. પૂર્ણ વર્ગ ઓળખવા — છેલ્લા અંકની ચાવી

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પૂર્ણ વર્ગ એટલે કોઈ પૂર્ણાંકનો વર્ગ હોય તેવી સંખ્યા, જેમ કે 1, 4, 9, 16, 25.
  • પગલું 1 — સંખ્યાનો છેલ્લો અંક જુઓ.
  • પગલું 2 — પૂર્ણ વર્ગનો છેલ્લો અંક ફક્ત 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 જ હોઈ શકે.
  • પગલું 3 — જો છેલ્લો અંક 2, 3, 7 કે 8 હોય તો એ સંખ્યા ક્યારેય પૂર્ણ વર્ગ ન હોય, એ સીધી નકારી દો.
  • પગલું 4 — છેલ્લો અંક યોગ્ય હોય તો નજીકના વર્ગ સાથે સરખાવી ખાતરી કરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • છેલ્લો અંક 2, 3, 7 કે 8 દેખાય તો તરત જ એ વિકલ્પ કાપી નાખો — ગણતરી કર્યા વગર જ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.
  • બીજી ચાવી — પૂર્ણ વર્ગના અંકોનો સરવાળો વારંવાર કરતાં છેવટે 1, 4, 7 કે 9 પર આવે છે.
  • આ બે ચાવીથી મોટા ભાગના વિકલ્પ સેકન્ડોમાં છૂટી જાય છે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — 150, 144, 200, 175 માંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ છે?
  • 150 નો છેલ્લો અંક 0 છે પણ પૂર્ણ વર્ગ માટે 0 પહેલાં બેવડો શૂન્ય જોઈએ, એટલે એ નહીં.
  • 175 નો છેલ્લો અંક 5 છે પણ 5 પર પૂરો થતો વર્ગ 25, 225 જેવો હોય, 175 એમાં બંધ બેસતો નથી.
  • 200 નો છેલ્લો અંક 0, પણ એ કોઈ સંખ્યાનો ચોખ્ખો વર્ગ નથી.
  • 144 = 12 × 12, એટલે 144 જ પૂર્ણ વર્ગ છે. જવાબ 144.

3. અવયવ પદ્ધતિથી વર્ગમૂળ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1 — સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવ પાડો, એટલે કે 2, 3, 5 જેવી નાની સંખ્યાઓથી ભાગતા જાઓ.
  • પગલું 2 — સરખા અવયવોની જોડ બનાવો.
  • પગલું 3 — દરેક જોડમાંથી એક અવયવ બહાર લો.
  • પગલું 4 — બહાર લીધેલા અવયવોને ગુણો, એ જ વર્ગમૂળ છે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • છેલ્લા બે અંક અને કુલ અંકસંખ્યા જોઈને જવાબના એકમ-અંકનો અંદાજ બાંધો — છેલ્લો અંક 6 હોય તો મૂળનો છેલ્લો અંક 4 કે 6 હોય.
  • વિકલ્પોમાંથી દરેકને વર્ગ કરી જોવાને બદલે, જે વિકલ્પનો વર્ગ આપેલી સંખ્યાના છેલ્લા અંક સાથે મળે એ પહેલાં ચકાસો.
  • મોટી સંખ્યાને 100 ના ગુણાંકમાં તોડો — જેમ કે 2304 ને 4 × 576 સમજો, મૂળ 2 × 24 = 48.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — અવયવ પદ્ધતિથી 2304 નું વર્ગમૂળ શોધો.
  • 2304 ને ભાગતા જઈએ તો 2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 મળે.
  • જોડ બનાવો — બે-બે ની ચાર જોડ અને ત્રણ-ત્રણ ની એક જોડ.
  • દરેક જોડમાંથી એક લો — 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.
  • તેથી 2304 નું વર્ગમૂળ 48 છે.

4. દશાંશ અને અપૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • અપૂર્ણાંક માટે — અંશ અને છેદ બંનેનું અલગ અલગ વર્ગમૂળ લો, પછી અંશના મૂળ ઉપર અને છેદના મૂળ નીચે મૂકો.
  • દશાંશ માટે પગલું 1 — દશાંશ પછી કેટલા અંક છે એ ગણો, એ સંખ્યા હંમેશા બેકી હોવી જોઈએ.
  • દશાંશ માટે પગલું 2 — દશાંશ બિંદુ કાઢી નાખી પૂર્ણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લો.
  • દશાંશ માટે પગલું 3 — જવાબમાં દશાંશ પછી જેટલા અંક હતા તેના અડધા અંક રાખો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • દશાંશ ગણવાનો ઝડપી નિયમ — જવાબમાં દશાંશ-અંકોની સંખ્યા આપેલા દશાંશ-અંકોની બરાબર અડધી હોય.
  • જેમ કે આપેલી સંખ્યામાં દશાંશ પછી 4 અંક હોય તો જવાબમાં 2 અંક હશે.
  • અપૂર્ણાંકમાં ઉપર-નીચે બંને ગોખેલા વર્ગ હોય તો જવાબ સીધો લખી નાખો, ગણતરી જરૂર નથી.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — 0.0064 નું વર્ગમૂળ શોધો.
  • દશાંશ પછી 4 અંક છે, એટલે જવાબમાં 2 અંક હશે.
  • બિંદુ કાઢી નાખીએ તો 64 મળે, અને 64 નું વર્ગમૂળ 8 છે.
  • જવાબમાં દશાંશ પછી 2 અંક રાખવાના, એટલે 0.08.
  • ખાતરી — 0.08 × 0.08 = 0.0064. તેથી જવાબ 0.08.

5. અવયવ પદ્ધતિથી ઘન અને ઘનમૂળ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • ઘન કાઢવા — સંખ્યાને પોતાનાથી બે વાર ગુણો, એટલે કુલ ત્રણ વાર સંખ્યા ગુણાય.
  • ઘનમૂળ માટે પગલું 1 — સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવ પાડો.
  • ઘનમૂળ માટે પગલું 2 — સરખા અવયવોની ત્રણ-ત્રણ ની ત્રિપુટી બનાવો.
  • ઘનમૂળ માટે પગલું 3 — દરેક ત્રિપુટીમાંથી એક અવયવ બહાર લો.
  • ઘનમૂળ માટે પગલું 4 — બહાર લીધેલા અવયવોને ગુણો, એ જ ઘનમૂળ છે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • છેલ્લા અંક પરથી ઘનમૂળનો છેલ્લો અંક પકડો — ઘનનો છેલ્લો અંક 8 હોય તો મૂળનો છેલ્લો અંક 2, અને 7 હોય તો મૂળનો 3 હોય.
  • છેલ્લા ત્રણ અંક ઢાંકી દો, બાકી રહેલા ભાગ ઉપર સૌથી નજીકનો જે ઘન બેસે એ મૂળનો પહેલો અંક આપે.
  • ગોખેલા ઘન 1 થી 10 યાદ હોય તો ચાર-આંકડાની સંખ્યાનું ઘનમૂળ સેકન્ડોમાં મળે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — 9261 નું ઘનમૂળ શોધો.
  • છેલ્લો અંક 1 છે, અને ઘનનો છેલ્લો અંક 1 હોય તો મૂળનો છેલ્લો અંક પણ 1 હોય.
  • છેલ્લા ત્રણ અંક ઢાંકતા 9 બાકી રહે, 9 ઉપર સૌથી નજીકનો બેસતો ઘન 8 છે જે 2 નો ઘન છે, એટલે પહેલો અંક 2.
  • બે અંક જોડતા જવાબ 21 મળે.
  • ખાતરી — 21 × 21 × 21 = 9261. તેથી ઘનમૂળ 21.

6. ઘાતના નિયમો

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • નિયમ 1 — સમાન આધારના ગુણાકારમાં ઘાત ઉમેરાય. જેમ કે a ઉપર m ગુણ્યા a ઉપર n બરાબર a ઉપર m વત્તા n.
  • નિયમ 2 — સમાન આધારના ભાગાકારમાં ઘાત બાદ થાય. જેમ કે a ઉપર m ભાગ્યા a ઉપર n બરાબર a ઉપર m ઓછા n.
  • નિયમ 3 — ઘાતનો ઘાત લેતાં ઘાત ગુણાય. જેમ કે કૌંસમાં a ઉપર m આખાનો ઉપર n બરાબર a ઉપર m ગુણ્યા n.
  • નિયમ 4 — ઋણ ઘાત એટલે ઊલટું. a ઉપર ઋણ n બરાબર 1 ભાગ્યા a ઉપર n.
  • નિયમ 5 — કોઈ પણ શૂન્યેતર સંખ્યાનો શૂન્ય ઘાત હંમેશા 1 થાય.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ગુણાકાર દેખાય તો ઉમેરો, ભાગાકાર દેખાય તો બાદ કરો, કૌંસનો ઘાત દેખાય તો ગુણો — ફક્ત આટલું યાદ રાખો.
  • ઋણ ઘાત દેખાય તો સંખ્યાને ઊલટાવી નાખો અને ઘાત ધન કરી દો, ગૂંચવાવ નહીં.
  • શૂન્ય ઘાત દેખાય તો જવાબ સીધો 1 લખી નાખો, ગણતરી જરૂર નથી.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — 2 ઉપર 3 ગુણ્યા 2 ઉપર 2 ની કિંમત શોધો.
  • આધાર બંને 2 છે અને ગુણાકાર છે, એટલે ઘાત ઉમેરો — 3 વત્તા 2 બરાબર 5.
  • એટલે જવાબ 2 ઉપર 5 થાય.
  • 2 ઉપર 5 બરાબર 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. તેથી જવાબ 32.

7. ઘાતવાળા દાખલા સરળ કરવા

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1 — બધી જ સંખ્યાઓને એક જ સામાન્ય આધાર ઉપર લાવો, જેમ કે 4, 8, 16 ને 2 ના ઘાત તરીકે લખો.
  • પગલું 2 — હવે ઘાતના નિયમો વાપરો — ગુણાકારમાં ઉમેરો, ભાગાકારમાં બાદ કરો, કૌંસમાં ગુણો.
  • પગલું 3 — ઉપર અને નીચેના ઘાત ભેગા કરી છેલ્લો એક ઘાત મેળવો.
  • પગલું 4 — છેલ્લે જરૂર હોય તો એ ઘાતની સાચી કિંમત ગણી લો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બધાને 2 ના ઘાતમાં ફેરવવાની ટેવ પાડો — 4 એટલે 2 ઉપર 2, 8 એટલે 2 ઉપર 3, 16 એટલે 2 ઉપર 4, 32 એટલે 2 ઉપર 5.
  • ઉપરના કુલ ઘાતમાંથી નીચેના કુલ ઘાત સીધા બાદ કરી નાખો, વચ્ચે કોઈ ગણતરી જરૂર નથી.
  • જો છેલ્લો ઘાત શૂન્ય આવે તો જવાબ 1 જ થાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — કૌંસમાં 2 ઉપર 3 આખાનો ઉપર 2, એની કિંમત શોધો.
  • આ ઘાતનો ઘાત છે, એટલે ઘાત ગુણો — 3 ગુણ્યા 2 બરાબર 6.
  • એટલે જવાબ 2 ઉપર 6 થાય.
  • 2 ઉપર 6 બરાબર 64. તેથી જવાબ 64.

8. આધાર સરખા કરી ઘાત શોધવો

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • આવા સવાલમાં એક અજાણ્યો ઘાત x હોય અને એની કિંમત શોધવાની હોય, જેમ કે 2 ઉપર x બરાબર કોઈ સંખ્યા.
  • પગલું 1 — જમણી બાજુની સંખ્યાને એ જ આધારના ઘાત તરીકે લખો.
  • પગલું 2 — જ્યારે બંને બાજુ આધાર સરખા થઈ જાય ત્યારે ઘાત પણ સરખા જ હોવા જોઈએ.
  • પગલું 3 — બંને બાજુના ઘાત સરખા મૂકી દો, એ જ x ની કિંમત.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • આધાર સરખા હોય તો ઘાત પણ સરખા — બસ આટલું જ વાપરો.
  • 2 ના ઘાત ગોખી રાખો — 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 — તો ઘાત તરત મળી જાય.
  • જમણી બાજુની સંખ્યા કયા આધારના ઘાત તરીકે સહેલાઈથી લખાય એ પહેલાં ઓળખો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — જો 2 ઉપર x બરાબર 128 હોય તો x ની કિંમત શોધો.
  • 128 ને 2 ના ઘાત તરીકે લખીએ — 2 ને સાત વાર ગુણતા 128 મળે, એટલે 128 બરાબર 2 ઉપર 7.
  • હવે 2 ઉપર x બરાબર 2 ઉપર 7, બંને બાજુ આધાર 2 સરખા છે.
  • એટલે ઘાત પણ સરખા — x બરાબર 7. તેથી જવાબ 7.

9. કરણી (વર્ગમૂળવાળી સંખ્યા) ની પાયાની વાત

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • કરણી એટલે જેનું વર્ગમૂળ ચોખ્ખું ન મળે તેવી સંખ્યા, જેમ કે 2 નું વર્ગમૂળ.
  • નિયમ 1 — બે વર્ગમૂળનો ગુણાકાર એટલે અંદરની સંખ્યાઓનો ગુણાકારનું વર્ગમૂળ.
  • નિયમ 2 — બે વર્ગમૂળનો ભાગાકાર એટલે અંદરની સંખ્યાઓના ભાગાકારનું વર્ગમૂળ.
  • પગલું — મોટી કરણીને નાની કરવા અંદરના પૂર્ણ-વર્ગ અવયવ બહાર કાઢો, જેમ કે 8 નું વર્ગમૂળ બરાબર 2 ગુણ્યા 2 નું વર્ગમૂળ.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ગુણાકારમાં બે વર્ગમૂળ દેખાય તો અંદરની સંખ્યાઓ સીધી ગુણી નાખો, પછી એક જ વર્ગમૂળ બાકી રહે.
  • જો ગુણાકાર પૂર્ણ વર્ગ બને તો વર્ગમૂળ સાવ ઊડી જાય અને ચોખ્ખો જવાબ મળે.
  • અંદરની સંખ્યામાંથી 4, 9, 16 જેવા પૂર્ણ-વર્ગ અવયવ બહાર ખેંચી લો, ગણતરી ટૂંકી થઈ જાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — 2 ના વર્ગમૂળ ગુણ્યા 8 ના વર્ગમૂળ ની કિંમત શોધો.
  • બે વર્ગમૂળનો ગુણાકાર એટલે અંદરની સંખ્યાઓ ગુણો — 2 ગુણ્યા 8 બરાબર 16.
  • એટલે હવે 16 નું વર્ગમૂળ બાકી રહે.
  • 16 નું વર્ગમૂળ 4 છે, એ પૂર્ણ વર્ગ હોવાથી ચોખ્ખો જવાબ મળ્યો. તેથી જવાબ 4.

10. ઘાતવાળી સંખ્યાઓ સરખાવવી

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • ક્યારેક જુદા જુદા આધાર અને જુદા જુદા ઘાતવાળી સંખ્યાઓમાંથી કઈ મોટી એ શોધવાનું હોય.
  • પગલું 1 — જો બધાનો આધાર સરખો કરી શકાય તો કરો, પછી જેનો ઘાત મોટો એ સંખ્યા મોટી.
  • પગલું 2 — જો ઘાત સરખા કરી શકાય તો કરો, પછી જેનો આધાર મોટો એ સંખ્યા મોટી.
  • પગલું 3 — બંને ન મળે તો છેલ્લે દરેકની ખરી કિંમત ગણીને સરખામણી કરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ઘાત સરખા હોય તો મોટો આધાર જીતે, અને આધાર સરખા હોય તો મોટો ઘાત જીતે — એક નજરમાં જવાબ.
  • બધાનો ઘાત એક સામાન્ય સંખ્યાથી ભાગી શકાય તો ઘાત નાનો કરી નાખો, સંખ્યાઓ સંભાળવી સહેલી થાય.
  • નાનો આધાર પણ બહુ મોટો ઘાત હોય તો જીતી શકે, એટલે ફક્ત આધાર જોઈને ઉતાવળે જવાબ ન આપો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ — 2 ઉપર 30, 3 ઉપર 20, 6 ઉપર 10, 5 ઉપર 15 માંથી સૌથી મોટી કઈ?
  • ઘાતનો સામાન્ય ગુણક શોધવો અઘરો છે, એટલે અહીં ખરી કિંમતનો અંદાજ બાંધવો સહેલો છે.
  • 2 ઉપર 30 આશરે એક અબજ, 6 ઉપર 10 એનાથી પણ નાનું છે.
  • 3 ઉપર 20 આશરે સાડા ત્રણ અબજ, અને 5 ઉપર 15 આશરે ત્રીસ અબજ થાય.
  • સૌથી મોટી કિંમત 5 ઉપર 15 ની છે. તેથી જવાબ 5 ઉપર 15.

11. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો

વર્ગ 1 થી 30 (ગોખી લો)

  • 1 નો વર્ગ 1, 2 નો 4, 3 નો 9, 4 નો 16, 5 નો 25.
  • 6 નો વર્ગ 36, 7 નો 49, 8 નો 64, 9 નો 81, 10 નો 100.
  • 11 નો વર્ગ 121, 12 નો 144, 13 નો 169, 14 નો 196, 15 નો 225.
  • 16 નો વર્ગ 256, 17 નો 289, 18 નો 324, 19 નો 361, 20 નો 400.
  • 21 નો વર્ગ 441, 22 નો 484, 23 નો 529, 24 નો 576, 25 નો 625.
  • 26 નો વર્ગ 676, 27 નો 729, 28 નો 784, 29 નો 841, 30 નો 900.

ઘન 1 થી 15 (ગોખી લો)

  • 1 નો ઘન 1, 2 નો 8, 3 નો 27, 4 નો 64, 5 નો 125.
  • 6 નો ઘન 216, 7 નો 343, 8 નો 512, 9 નો 729, 10 નો 1000.
  • 11 નો ઘન 1331, 12 નો 1728, 13 નો 2197, 14 નો 2744, 15 નો 3375.

ઘાતના નિયમો (ટૂંકમાં)

  • ગુણાકારમાં સમાન આધાર હોય તો ઘાત ઉમેરો — a ઉપર m ગુણ્યા a ઉપર n બરાબર a ઉપર m વત્તા n.
  • ભાગાકારમાં સમાન આધાર હોય તો ઘાત બાદ કરો — a ઉપર m ભાગ્યા a ઉપર n બરાબર a ઉપર m ઓછા n.
  • કૌંસનો ઘાત હોય તો ઘાત ગુણો — કૌંસમાં a ઉપર m આખાનો ઉપર n બરાબર a ઉપર m ગુણ્યા n.
  • ઋણ ઘાત એટલે ઊલટું — a ઉપર ઋણ n બરાબર 1 ભાગ્યા a ઉપર n.
  • શૂન્ય ઘાત હંમેશા 1 — કોઈ પણ શૂન્યેતર સંખ્યાનો શૂન્ય ઘાત 1 થાય.

છેલ્લા અંકની ઝડપી ચાવી

  • પૂર્ણ વર્ગનો છેલ્લો અંક ફક્ત 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 જ હોય.
  • છેલ્લો અંક 2, 3, 7 કે 8 હોય તો એ કદી પૂર્ણ વર્ગ નથી.
  • ઘનનો છેલ્લો અંક — 2 નો ઘન 8 પર, 8 નો ઘન 2 પર, 3 નો ઘન 7 પર, 7 નો ઘન 3 પર પૂરો થાય.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.