30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — કૌંસ અને વિસ્તરણ (સરળીકરણ)

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. પ્રસ્તાવના — સરળીકરણ એટલે શું અને કયો ક્રમ

સરળીકરણ એટલે શું

•જ્યારે એક જ દાખલામાં સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર અને કૌંસ બધું સાથે આવે, ત્યારે કયું પહેલાં કરવું તે નક્કી કરવા માટે એક ઠરાવેલો ક્રમ વાપરવો પડે છે.
•જો ક્રમ ખોટો રાખો તો જવાબ બદલાઈ જાય છે. એટલે પરીક્ષામાં આ ક્રમ પાકો યાદ રાખવો ખૂબ જરૂરી છે.
•આ આખા પ્રકરણને 'સરળીકરણ' કહે છે અને તેનો મુખ્ય નિયમ બોડમાસ (BODMAS) છે.

બોડમાસ ક્રમ (BODMAS)

•ક્રમ આ રીતે છે: કૌંસ → of → ભાગાકાર → ગુણાકાર → સરવાળો → બાદબાકી.
•B એટલે Bracket (કૌંસ), O એટલે of (નું), D એટલે Division (ભાગાકાર), M એટલે Multiplication (ગુણાકાર), A એટલે Addition (સરવાળો), S એટલે Subtraction (બાદબાકી).
•પહેલાં હંમેશાં કૌંસની અંદરનું ગણો. પછી 'of' એટલે કે 'નું' એ ગુણાકાર જેવું જ ગણો.
•ભાગાકાર અને ગુણાકાર સરખા સ્તરના છે — જે ડાબી બાજુથી પહેલાં આવે તે પહેલાં કરો.
•એ જ રીતે સરવાળો અને બાદબાકી પણ સરખા સ્તરના છે — ડાબેથી જમણે ક્રમમાં કરો.

કૌંસનો ક્રમ

•કૌંસ પણ અંદરથી બહારની તરફ ઉકેલવા: પહેલાં નાનો કૌંસ ( ), પછી મધ્યમ કૌંસ { }, પછી મોટો કૌંસ [ ].
•એક કૌંસ ઉકેલાઈ જાય પછી જ બહારના કૌંસ તરફ વધવું.
•દાખલો: 12 + 6 ÷ 2 × 3 − 4. પહેલાં 6 ÷ 2 = 3, પછી 3 × 3 = 9, પછી 12 + 9 = 21, છેલ્લે 21 − 4 = 17.

2. બોડમાસ ક્રમે ઉકેલ (Step-by-step)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: દાખલામાં કૌંસ હોય તો સૌથી પહેલાં અંદરના કૌંસ ઉકેલો.
પગલું 2: 'of' (નું) આવે તો તેને ગુણાકાર ગણીને ઉકેલો.
પગલું 3: ડાબેથી જમણે જઈને જે ભાગાકાર કે ગુણાકાર પહેલાં મળે તે ક્રમમાં કરો.
પગલું 4: છેલ્લે ડાબેથી જમણે સરવાળો અને બાદબાકી કરો.
દરેક પગલે ફક્ત એક જ ક્રિયા કરો, જેથી ભૂલ ન થાય.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

મનમાં ઝડપથી બોલો: કૌંસ, of, ભાગ, ગુણ, સર, બાદ — આ જ ક્રમ બધે લાગુ પડે.
ભાગાકાર અને ગુણાકાર સાથે હોય તો અટકશો નહીં, સીધા ડાબેથી જમણે ઉકેલતા જાઓ.
મોટા ભાગના વિકલ્પોમાં એક ખોટો જવાબ 'ડાબેથી જમણે સીધું' ગણવાથી આવે છે — એ જાળમાં ન ફસાઓ, ભાગ-ગુણ પહેલાં કરો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: 20 − (4 + 3) × 2 = ?
પહેલાં કૌંસ: 4 + 3 = 7.
પછી ગુણાકાર: 7 × 2 = 14.
છેલ્લે બાદબાકી: 20 − 14 = 6.
જવાબ: 6.

3. કૌંસ દૂર કરવા અને અંદરઅંદરના કૌંસ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: અંદરઅંદરના કૌંસ હોય તો સૌથી અંદરના નાના કૌંસ ( ) થી શરૂ કરો.
પગલું 2: કૌંસ આગળ ઓછાનું (−) ચિહ્ન હોય તો કૌંસ ખોલતી વખતે અંદરના દરેક પદનું ચિહ્ન બદલાય છે — સરવાળો બાદબાકી થાય અને બાદબાકી સરવાળો થાય.
પગલું 3: કૌંસ આગળ વત્તાનું (+) ચિહ્ન હોય તો અંદરનાં પદ એમ જ રહે છે.
પગલું 4: એક કૌંસ પૂરો ઉકેલાય પછી મધ્યમ { } અને છેલ્લે મોટા [ ] કૌંસ તરફ વધો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

કૌંસ આગળ ઓછાનું ચિહ્ન દેખાય કે તરત મનમાં બોલો: 'અંદર બધાં ચિહ્ન ઊલટાં'.
અંદરથી બહાર — એક સમયે એક જ કૌંસ ઉકેલો, વચ્ચે કૂદકો ન મારો.
ઘણા દાખલામાં ફક્ત ચિહ્ન ઊલટાવવાનું ભૂલવાથી જ ખોટો જવાબ આવે છે, એટલે ચિહ્ન પર ખાસ ધ્યાન.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: 25 − [10 − {6 − (4 − 2)}] = ?
સૌથી અંદરનો કૌંસ: 4 − 2 = 2.
હવે 25 − [10 − {6 − 2}] = 25 − [10 − {4}].
મધ્યમ કૌંસ: 10 − 4 = 6, એટલે 25 − [6].
છેલ્લે: 25 − 6 = 19. જવાબ: 19.

4. અપૂર્ણાંકનું સરળીકરણ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: અપૂર્ણાંકના સરવાળા-બાદબાકી માટે છેદનો લઘુતમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) શોધો.
પગલું 2: દરેક અપૂર્ણાંકને એ સામાન્ય છેદમાં ફેરવો, પછી અંશ સાથે સરવાળો-બાદબાકી કરો.
પગલું 3: ગુણાકારમાં અંશ સાથે અંશ અને છેદ સાથે છેદ ગુણો.
પગલું 4: ભાગાકારમાં બીજા અપૂર્ણાંકને ઊલટાવી (અંશ-છેદ બદલી) ગુણાકાર કરો.
પગલું 5: છેલ્લે જવાબને નાનામાં નાના સ્વરૂપમાં લાવો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

ભાગાકાર દેખાય કે તરત બીજા અપૂર્ણાંકને ઊલટાવી ગુણાકારમાં ફેરવી નાખો — 'ભાગ એટલે ઊલટું ગુણ'.
ગુણાકાર પહેલાં ત્રાંસું છેદન કરો (ઉપર-નીચે સામાન્ય સંખ્યા હોય તો કાપી નાખો), ગણતરી નાની થઈ જાય.
છેદ સરખા હોય તો સીધા અંશ સાથે જ સરવાળો-બાદબાકી, લ.સા.અ.ની ઝંઝટ નહીં.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: 3/4 + 1/2 − 1/8 = ?
છેદનો લ.સા.અ. = 8.
3/4 = 6/8, 1/2 = 4/8, 1/8 = 1/8.
હવે 6/8 + 4/8 − 1/8 = 9/8.
જવાબ: 9/8 એટલે કે 1 અને 1/8.

5. દશાંશનું સરળીકરણ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: સરવાળા-બાદબાકીમાં દશાંશચિહ્ન સામસામે ગોઠવો, જરૂર પડે તો પાછળ શૂન્ય ઉમેરો.
પગલું 2: ગુણાકારમાં દશાંશચિહ્ન ભૂલીને સામાન્ય સંખ્યાની જેમ ગુણો; પછી બંને સંખ્યાના દશાંશ આંકડા ગણીને જવાબમાં તેટલા આંકડા જમણેથી અલગ કરો.
પગલું 3: ભાગાકારમાં છેદને પૂર્ણ સંખ્યા બનાવવા છેદ અને અંશ બંનેને 10, 100 વગેરેથી ગુણો.
પગલું 4: બાકીની ગણતરી પૂર્ણ સંખ્યાની જેમ કરો અને બોડમાસ ક્રમ જાળવો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

ગુણાકારમાં દશાંશચિહ્ન ગણવાનો સહેલો નિયમ: બંને સંખ્યાના દશાંશ આંકડા ઉમેરો, એટલા જ આંકડા જવાબમાં જમણેથી.
દાખલા તરીકે 0.2 × 0.3 — બે દશાંશ આંકડા, એટલે 6 ને 0.06 લખો.
ભાગાકારમાં ઉપર-નીચે બંનેને એકસરખા ગુણાંકથી ગુણો, જવાબ બદલાતો નથી પણ ગણતરી સહેલી થાય છે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: 0.6 × 0.5 + 1.2 = ?
પહેલાં ગુણાકાર: 6 × 5 = 30, બે દશાંશ આંકડા એટલે 0.30.
હવે 0.30 + 1.2 = 1.50.
જવાબ: 1.5.

6. 'of' (નું) નો અર્થ અને ઉપયોગ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: દાખલામાં 'of' એટલે 'નું' આવે ત્યારે તેને ગુણાકાર સમજો.
પગલું 2: બોડમાસ ક્રમમાં 'of' ભાગાકાર અને ગુણાકાર કરતાં પણ પહેલાં ઉકેલવાનું હોય છે.
પગલું 3: ટકાવારી સાથે હોય તો ટકાને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો — જેમ કે 20% એટલે 20/100 — પછી ગુણાકાર કરો.
પગલું 4: 'of' ઉકેલ્યા પછી જ બાકીના ભાગ-ગુણ-સર-બાદ તરફ આગળ વધો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

'of' દેખાય કે તરત મનમાં 'ગુણાકાર' બોલો અને એને સૌથી પહેલાં ઉકેલો.
1/2 of, 1/3 of જેવા ભાગ સીધા સંખ્યાને અડધી કે ત્રીજા ભાગે કરી નાખે — ઝડપથી મનમાં જ ગણાય.
ટકાવારીમાં 10% of એટલે ફક્ત દશાંશચિહ્ન એક ઘર ડાબે — જેમ કે 10% of 250 = 25.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: 1/2 of 60 + 8 = ?
પહેલાં 'of': 1/2 of 60 એટલે 60 ÷ 2 = 30.
પછી સરવાળો: 30 + 8 = 38.
જવાબ: 38.

7. બૈજિક ઓળખ — વર્ગના સૂત્રો

પદ્ધતિ (Step-by-step)

મુખ્ય ત્રણ ઓળખ યાદ રાખો: પહેલી — (a + b)નો વર્ગ = aનો વર્ગ + 2ab + bનો વર્ગ.
બીજી — (a − b)નો વર્ગ = aનો વર્ગ − 2ab + bનો વર્ગ.
ત્રીજી — (a + b)(a − b) = aનો વર્ગ − bનો વર્ગ.
પગલું: દાખલામાં કઈ ઓળખ બંધબેસે છે તે ઓળખો, a અને b ની કિંમત મૂકો અને સીધો જવાબ લખો.
આ ઓળખ વાપરવાથી મોટા ગુણાકાર કર્યા વગર ઝડપથી જવાબ મળે છે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

બે સંખ્યાનો ગુણાકાર જ્યાં એક વત્તા અને બીજો ઓછા સ્વરૂપે હોય ત્યાં ત્રીજી ઓળખ વાપરો — જવાબ સીધો aનો વર્ગ ઓછા bનો વર્ગ.
દાખલા તરીકે 43 × 37 = (40 + 3)(40 − 3) = 1600 − 9 = 1591.
આખો ગુણાકાર કરવાને બદલે ફક્ત બે વર્ગની બાદબાકી — સેકન્ડોમાં જવાબ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: 51 × 49 = ?
આ (50 + 1)(50 − 1) સ્વરૂપ છે.
ત્રીજી ઓળખ: 50નો વર્ગ − 1નો વર્ગ = 2500 − 1.
જવાબ: 2499.

8. a+b અને ab આપેલ હોય ત્યારે કિંમત શોધવી

પદ્ધતિ (Step-by-step)

ઘણા દાખલામાં બે સંખ્યાનો સરવાળો (a + b) અને ગુણાકાર (ab) આપેલા હોય છે અને તેમના વર્ગનો સરવાળો પૂછે છે.
મુખ્ય સંબંધ: aનો વર્ગ + bનો વર્ગ = (a + b)નો વર્ગ − 2ab.
પગલું 1: (a + b)નો વર્ગ ગણો.
પગલું 2: તેમાંથી 2ab બાદ કરો — જવાબ aનો વર્ગ + bનો વર્ગ મળશે.
બીજો સંબંધ: aનો વર્ગ + bનો વર્ગ = (a − b)નો વર્ગ + 2ab — જ્યારે તફાવત આપેલ હોય ત્યારે વાપરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

વર્ગનો સરવાળો જોઈતો હોય તો સીધું યાદ રાખો: (સરવાળો)નો વર્ગ ઓછા બે ગુણ્યા (ગુણાકાર).
ગુણ્યાનો વર્ગ — એટલે કે a ગુણ્યા b નો વર્ગ — જોઈએ તો અલગ સૂત્રની જરૂર નથી, ab ની કિંમતનો જ વર્ગ.
આપેલી કિંમતો સીધી મૂકી દો, સંખ્યા a અને b અલગ શોધવાની મહેનત ટાળો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: a + b = 10 અને ab = 21, તો aનો વર્ગ + bનો વર્ગ = ?
સૂત્ર: (a + b)નો વર્ગ − 2ab.
= 10નો વર્ગ − 2 × 21 = 100 − 42.
જવાબ: 58.

9. ઓળખ વડે ઝડપી વર્ગ (102², 99²)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

100ની નજીકની સંખ્યાનો વર્ગ કરવા તેને (100 + થોડું) કે (100 − થોડું) સ્વરૂપે લખો.
100થી મોટી હોય તો પહેલી ઓળખ: (100 + b)નો વર્ગ = 10000 + 200b + bનો વર્ગ.
100થી નાની હોય તો બીજી ઓળખ: (100 − b)નો વર્ગ = 10000 − 200b + bનો વર્ગ.
પગલું 1: b એટલે 100થી તફાવત શોધો. પગલું 2: સૂત્રમાં મૂકીને ત્રણ ભાગ ઉમેરો કે બાદ કરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

100ની નજીકના વર્ગ માટે: પાયો 10000, પછી 200 ગુણ્યા તફાવત ઉમેરો કે બાદ કરો, છેલ્લે તફાવતનો વર્ગ ઉમેરો.
102નો વર્ગ: 10000 + 200×2 + 4 = 10404 — સેકન્ડોમાં મનમાં જ.
99નો વર્ગ: 10000 − 200×1 + 1 = 9801. નાનો તફાવત હોય ત્યારે આ સૌથી ઝડપી.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

દાખલો: 103નો વર્ગ = ?
103 = 100 + 3, એટલે b = 3.
= 10000 + 200×3 + 3નો વર્ગ = 10000 + 600 + 9.
જવાબ: 10609.

10. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો (ચીટ-શીટ)

બોડમાસ ક્રમ

•ક્રમ: કૌંસ → of → ભાગ → ગુણ → સર → બાદ.
•ભાગ-ગુણ સરખા સ્તરના, સર-બાદ સરખા સ્તરના — બંને ડાબેથી જમણે.
•કૌંસ આગળ ઓછાનું ચિહ્ન હોય તો ખોલતી વખતે અંદરનાં બધાં ચિહ્ન ઊલટાવો.
•કૌંસ અંદરથી બહાર: પહેલાં ( ), પછી { }, છેલ્લે [ ].

ઓળખ (ઝડપી સૂત્રો)

•(a + b)નો વર્ગ = aનો વર્ગ + 2ab + bનો વર્ગ.
•(a − b)નો વર્ગ = aનો વર્ગ − 2ab + bનો વર્ગ.
•(a + b)(a − b) = aનો વર્ગ − bનો વર્ગ.
•aનો વર્ગ + bનો વર્ગ = (a + b)નો વર્ગ − 2ab.
•'of' એટલે ગુણાકાર; ભાગાકાર એટલે ઊલટું ગુણ.

100ની નજીકના વર્ગની ટ્રિક

પાયો 10000, વત્તા કે ઓછા 200 ગુણ્યા તફાવત, વત્તા તફાવતનો વર્ગ.
102નો વર્ગ = 10404, 99નો વર્ગ = 9801, 105નો વર્ગ = 11025.
બે સંખ્યાનો ગુણાકાર સરખા તફાવત સામસામે હોય તો (વચલી)નો વર્ગ ઓછા (તફાવત)નો વર્ગ — જેમ 51×49 = 2499.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.