મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — સમય, ઝડપ અને અંતર

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. પરિચય — સમય, ઝડપ અને અંતર શું છે?

મૂળ વાત સમજો

  • ઝડપ એટલે એક કલાક કે એક સેકન્ડમાં કેટલું અંતર કપાય તે. અંતર એટલે કેટલો રસ્તો કાપ્યો. સમય એટલે કેટલી વાર લાગી.
  • આખા પ્રકરણનો પાયો એક જ સૂત્ર છે: ઝડપ = અંતર ÷ સમય. આ એક સૂત્રમાંથી જ બાકીના બે નીકળે છે.
  • આ ત્રિકોણ યાદ રાખો: ઉપર અંતર, નીચે ઝડપ અને સમય. જે જોઈએ તેના પર આંગળી મૂકો, બાકીના બે દેખાશે.
  • અંતર = ઝડપ × સમય. સમય = અંતર ÷ ઝડપ. ઝડપ = અંતર ÷ સમય. ત્રણેય એક જ વાતના ત્રણ રૂપ છે.

પરીક્ષામાં શા માટે મહત્ત્વનું

  • GPSC, તલાટી, બિન સચિવાલય, પોલીસ કોન્સ્ટેબલ, GSSSB CCE દરેક પરીક્ષામાં આ પ્રકરણમાંથી પાક્કા પ્રશ્નો આવે છે.
  • મોટાભાગના પ્રશ્નો ફક્ત એકમ ફેરબદલ (કિમી/કલાક અને મીટર/સેકન્ડ વચ્ચે) અને એક સૂત્ર પર આધારિત હોય છે — એટલે 30 સેકન્ડમાં ઉકેલી શકાય.
  • ટ્રેન, હોડી અને સરેરાશ ઝડપના સૂત્રો એક વાર પાક્કા કરી લો, પછી આખા પ્રકરણમાં માર્ક પાક્કા.

ભૂલ ક્યાં થાય છે

  • એકમ ભેળવી દેવા — ઝડપ કિમી/કલાકમાં અને સમય મિનિટ કે સેકન્ડમાં હોય તો જવાબ ખોટો આવે. પહેલા એકમ સરખા કરો.
  • 5/18 અને 18/5 ઊલટા વાપરવા — કિમી/કલાક નાનું કરવા (મીટર/સેકન્ડ) 5/18, મોટું કરવા 18/5.
  • સરેરાશ ઝડપમાં બે ઝડપ સીધી ઉમેરીને બેથી ભાગવા — એ ખોટું છે જ્યારે અંતર સમાન હોય.

2. ઝડપ = અંતર ÷ સમય (પાયાનું સૂત્ર)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: પ્રશ્નમાંથી ત્રણમાંથી કઈ બે વસ્તુ આપી છે તે શોધો — ઝડપ, અંતર, સમય.
  • પગલું 2: જે ત્રીજી વસ્તુ જોઈએ છે તે માટેનું સૂત્ર પસંદ કરો. ઝડપ જોઈએ તો અંતર ÷ સમય, અંતર જોઈએ તો ઝડપ × સમય, સમય જોઈએ તો અંતર ÷ ઝડપ.
  • પગલું 3: એકમ સરખા છે કે નહીં તે ચકાસો. ઝડપ કિમી/કલાક હોય તો અંતર કિમીમાં અને સમય કલાકમાં હોવો જોઈએ.
  • પગલું 4: કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરો અને જવાબ સાથે સાચો એકમ લખો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ત્રિકોણ ટ્રિક: કલ્પનામાં ત્રિકોણ દોરો — ઉપર અંતર, નીચે ડાબે ઝડપ, નીચે જમણે સમય.
  • જે જોઈએ તેના પર આંગળી મૂકો. ઉપર-નીચે રહે તો ભાગાકાર, બાજુ-બાજુ રહે તો ગુણાકાર.
  • અંતર પર આંગળી મૂકો તો ઝડપ × સમય. ઝડપ પર મૂકો તો અંતર ÷ સમય. એક ક્ષણમાં સૂત્ર મળી જાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: એક કાર 240 કિમી અંતર 4 કલાકમાં કાપે છે. તેની ઝડપ કેટલી?
  • અહીં અંતર અને સમય આપ્યા છે, ઝડપ જોઈએ છે — તેથી ઝડપ = અંતર ÷ સમય.
  • ઝડપ = 240 ÷ 4 = 60 કિમી/કલાક.
  • જવાબ: 60 કિમી/કલાક.

3. કિમી/કલાક અને મીટર/સેકન્ડ ફેરબદલ (×5/18, ×18/5)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: જુઓ આપેલી ઝડપ કયા એકમમાં છે — કિમી/કલાક કે મીટર/સેકન્ડ.
  • પગલું 2: કિમી/કલાકને મીટર/સેકન્ડમાં ફેરવવા 5/18 વડે ગુણો.
  • પગલું 3: મીટર/સેકન્ડને કિમી/કલાકમાં ફેરવવા 18/5 વડે ગુણો.
  • પગલું 4: ટ્રેન, હોડી જેવા પ્રશ્નોમાં અંતર મીટરમાં અને સમય સેકન્ડમાં હોય તો ઝડપ મીટર/સેકન્ડમાં જ રાખો — તો ગણતરી સહેલી થાય.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • નાનો એકમ (મીટર/સેકન્ડ) જોઈએ તો નાનો અપૂર્ણાંક 5/18 વાપરો; મોટો એકમ (કિમી/કલાક) જોઈએ તો મોટો અપૂર્ણાંક 18/5 વાપરો.
  • ઝટપટ યુક્તિ: કિમી/કલાકને અડધા કરો, પછી થોડું વધારે ઘટાડો — એ આશરે મીટર/સેકન્ડ આવે. ચોકસાઈ માટે 5/18 જ વાપરો.
  • ગોખવા જેવા આંકડા: 18 કિમી/કલાક = 5 મીટર/સેકન્ડ, 36 = 10, 54 = 15, 72 = 20, 90 = 25. એ યાદ હોય તો સીધો જવાબ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 72 કિમી/કલાકને મીટર/સેકન્ડમાં ફેરવો.
  • કિમી/કલાકને મીટર/સેકન્ડમાં ફેરવવા 5/18 વડે ગુણો: 72 × 5/18.
  • 72 ÷ 18 = 4, પછી 4 × 5 = 20.
  • જવાબ: 20 મીટર/સેકન્ડ.

4. સરેરાશ ઝડપ — 2xy/(x+y)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: સરેરાશ ઝડપ હંમેશા કુલ અંતર ÷ કુલ સમય હોય છે — આ મૂળ વ્યાખ્યા છે.
  • પગલું 2: જો બે અલગ ઝડપે સમાન અંતર કાપ્યું હોય તો સીધું સૂત્ર વાપરો: સરેરાશ ઝડપ = 2xy ÷ (x + y), જ્યાં x અને y એ બે ઝડપ છે.
  • પગલું 3: જો સમય સમાન હોય (ઝડપ નહીં) તો સાદી સરેરાશ ચાલે: (x + y) ÷ 2.
  • પગલું 4: બંને ઝડપ સીધી ઉમેરીને બેથી ભાગવી એ માત્ર સમય સમાન હોય ત્યારે જ સાચું — અંતર સમાન હોય ત્યારે 2xy/(x+y) જ વાપરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • સમાન અંતર માટે: ઉપર બે ઝડપનો ગુણાકાર બમણો કરો, નીચે બે ઝડપનો સરવાળો — ભાગાકાર કરો.
  • દા.ત. 40 અને 60 માટે: ઉપર 2 × 40 × 60 = 4800, નીચે 40 + 60 = 100, જવાબ 48.
  • ધ્યાન રાખો: સરેરાશ ઝડપ હંમેશા સાદી સરેરાશ કરતા થોડી ઓછી આવે, કારણ કે ધીમી ઝડપે વધારે સમય લાગે છે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: એક માણસ સમાન અંતર પહેલા 60 કિમી/કલાક અને પાછું 40 કિમી/કલાકની ઝડપે કાપે છે. સરેરાશ ઝડપ કેટલી?
  • અંતર સમાન છે તેથી સૂત્ર: સરેરાશ = 2xy ÷ (x + y).
  • = (2 × 60 × 40) ÷ (60 + 40) = 4800 ÷ 100 = 48.
  • જવાબ: 48 કિમી/કલાક.

5. સાપેક્ષ ઝડપ — એક જ દિશા અને વિરુદ્ધ દિશા

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: જુઓ બંને વસ્તુ એક જ દિશામાં જાય છે કે વિરુદ્ધ દિશામાં.
  • પગલું 2: એક જ દિશામાં હોય તો સાપેક્ષ ઝડપ = બે ઝડપનો તફાવત (મોટી − નાની).
  • પગલું 3: વિરુદ્ધ દિશામાં હોય (સામસામે કે દૂર જતા) તો સાપેક્ષ ઝડપ = બે ઝડપનો સરવાળો.
  • પગલું 4: પછી સામાન્ય સૂત્ર સમય = અંતર ÷ સાપેક્ષ ઝડપ વાપરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • સામસામે કે વિરુદ્ધ = સરવાળો. પાછળ-પાછળ એક જ દિશા = તફાવત. આટલું જ યાદ રાખો.
  • વિરુદ્ધ દિશામાં વસ્તુઓ ઝડપથી દૂર/નજીક થાય, એટલે ઝડપ ઉમેરાય; એક જ દિશામાં ધીમે, એટલે ઝડપ બાદ થાય.
  • બે જણ એક બિંદુથી વિરુદ્ધ દિશામાં જાય તો t સમય પછી વચ્ચેનું અંતર = (ઝડપોનો સરવાળો) × t.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: બે માણસ એક જ બિંદુથી વિરુદ્ધ દિશામાં 5 કિમી/કલાક અને 7 કિમી/કલાકની ઝડપે ચાલે છે. 2 કલાક પછી વચ્ચે કેટલું અંતર હશે?
  • વિરુદ્ધ દિશા તેથી સાપેક્ષ ઝડપ = 5 + 7 = 12 કિમી/કલાક.
  • અંતર = સાપેક્ષ ઝડપ × સમય = 12 × 2 = 24.
  • જવાબ: 24 કિમી.

6. ટ્રેન થાંભલો અને પ્લેટફોર્મ પાર કરે

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: એકમ સરખા કરો — ઝડપ કિમી/કલાક હોય તો 5/18 વડે મીટર/સેકન્ડમાં ફેરવો.
  • પગલું 2: થાંભલો, માણસ કે ઝાડ (બિંદુ જેવી વસ્તુ) પાર કરવા હોય તો કાપવાનું અંતર = ફક્ત ટ્રેનની લંબાઈ.
  • પગલું 3: પ્લેટફોર્મ, પુલ કે ટનલ (લંબાઈવાળી વસ્તુ) પાર કરવા હોય તો અંતર = ટ્રેનની લંબાઈ + પ્લેટફોર્મની લંબાઈ.
  • પગલું 4: સમય = કુલ અંતર ÷ ઝડપ વાપરો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બિંદુ (થાંભલો/માણસ) = ફક્ત ટ્રેનની લંબાઈ. લંબાઈવાળું (પ્લેટફોર્મ/પુલ) = ટ્રેન + પ્લેટફોર્મ ઉમેરો. આ એક જ ભેદ યાદ રાખો.
  • ઝડપ સીધી મીટર/સેકન્ડમાં હોય તો વચ્ચે ફેરબદલ ટાળો; નહીંતર પહેલા 5/18 કરી લો.
  • જવાબ સેકન્ડમાં જોઈએ ત્યારે અંતર મીટરમાં અને ઝડપ મીટર/સેકન્ડમાં હોવા જ જોઈએ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 200 મીટર લાંબી ટ્રેન 20 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે 300 મીટર લાંબા પ્લેટફોર્મને પાર કરે છે. કેટલો સમય લાગશે?
  • પ્લેટફોર્મ લંબાઈવાળું છે તેથી કુલ અંતર = ટ્રેન + પ્લેટફોર્મ = 200 + 300 = 500 મીટર.
  • સમય = કુલ અંતર ÷ ઝડપ = 500 ÷ 20 = 25.
  • જવાબ: 25 સેકન્ડ.

7. બે ટ્રેન એકબીજાને પાર કરે

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: બંને ટ્રેનની ઝડપ એક જ એકમમાં લાવો — સામાન્ય રીતે મીટર/સેકન્ડ.
  • પગલું 2: દિશા જુઓ. વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો સાપેક્ષ ઝડપ = ઝડપોનો સરવાળો; એક જ દિશામાં હોય તો તફાવત.
  • પગલું 3: કાપવાનું કુલ અંતર = બંને ટ્રેનની લંબાઈનો સરવાળો.
  • પગલું 4: સમય = (બંને લંબાઈનો સરવાળો) ÷ સાપેક્ષ ઝડપ.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બે ટ્રેન પાર કરવા હંમેશા બંને લંબાઈ ઉમેરો — એ યાદ રાખવાનું મુખ્ય પગલું.
  • વિરુદ્ધ દિશા = ઝડપ ઉમેરો (ઝડપથી પાર), એક જ દિશા = ઝડપ બાદ કરો (ધીમે પાર).
  • ઝટપટ: બંને લંબાઈ ઉમેરો, સાપેક્ષ ઝડપ (મીટર/સેકન્ડ) કાઢો, ભાગો — જવાબ સેકન્ડમાં.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: બે ટ્રેન, દરેક 150 મીટર લાંબી, વિરુદ્ધ દિશામાં 90 કિમી/કલાક અને 54 કિમી/કલાકની ઝડપે દોડે છે. એકબીજાને પાર કરવા કેટલો સમય?
  • વિરુદ્ધ દિશા તેથી સાપેક્ષ ઝડપ = 90 + 54 = 144 કિમી/કલાક = 144 × 5/18 = 40 મીટર/સેકન્ડ.
  • કુલ અંતર = 150 + 150 = 300 મીટર. સમય = 300 ÷ 40 = 7.5.
  • જવાબ: 7.5 સેકન્ડ.

8. હોડી અને પ્રવાહ — પ્રવાહ દિશા (b+s), વિરુદ્ધ (b−s)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: બે વસ્તુ ઓળખો — હોડીની શાંત પાણીમાં ઝડપ (b) અને પ્રવાહની ઝડપ (s).
  • પગલું 2: પ્રવાહની દિશામાં (નીચે તરફ) ઝડપ = b + s, કારણ કે પ્રવાહ મદદ કરે છે.
  • પગલું 3: પ્રવાહની વિરુદ્ધ (ઉપર તરફ) ઝડપ = b − s, કારણ કે પ્રવાહ સામે ધક્કો મારે છે.
  • પગલું 4: જો બંને ઝડપ આપી હોય તો ઊલટું: હોડીની ઝડપ b = (દિશા ઝડપ + વિરુદ્ધ ઝડપ) ÷ 2, અને પ્રવાહ s = (દિશા ઝડપ − વિરુદ્ધ ઝડપ) ÷ 2.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • પ્રવાહ સાથે = ઉમેરો (b + s), પ્રવાહ સામે = બાદ (b − s). બસ આ બે જ સૂત્ર.
  • બંને ઝડપ આપી હોય તો: સરવાળાનો અડધો = હોડીની ઝડપ, તફાવતનો અડધો = પ્રવાહની ઝડપ.
  • દા.ત. દિશા ઝડપ 10 અને વિરુદ્ધ 6 હોય તો હોડી = (10+6)/2 = 8, પ્રવાહ = (10−6)/2 = 2.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: એક હોડી શાંત પાણીમાં 12 કિમી/કલાક અને પ્રવાહ 3 કિમી/કલાક છે. પ્રવાહની દિશામાં 30 કિમી જવા કેટલો સમય?
  • પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = b + s = 12 + 3 = 15 કિમી/કલાક.
  • સમય = અંતર ÷ ઝડપ = 30 ÷ 15 = 2.
  • જવાબ: 2 કલાક.

9. ઝડપ અને સમયનો ગુણોત્તર (વ્યસ્ત પ્રમાણ)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: યાદ રાખો — જ્યારે અંતર સમાન હોય ત્યારે ઝડપ અને સમય એકબીજાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (વધારે ઝડપ તો ઓછો સમય).
  • પગલું 2: જો ઝડપનો ગુણોત્તર a : b હોય તો સમાન અંતર માટે સમયનો ગુણોત્તર ઊલટો b : a થાય.
  • પગલું 3: જો સમય સમાન હોય તો ઝડપ અને અંતર સીધા પ્રમાણમાં હોય — ઝડપનો ગુણોત્તર = અંતરનો ગુણોત્તર.
  • પગલું 4: ગુણોત્તર પરથી વાસ્તવિક કિંમત કાઢવા 'એક ભાગ'ની કિંમત શોધો અને ભાગ વડે ગુણો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • સમાન અંતર હોય તો ઝડપનો ગુણોત્તર ઊલટાવી દો — એ જ સમયનો ગુણોત્તર. દા.ત. ઝડપ 3 : 4 તો સમય 4 : 3.
  • વ્યસ્ત પ્રમાણની યુક્તિ: જે ઝડપ વધારે, તેનો સમય ઓછો — ગુણોત્તરના આંકડા આડા બદલી નાખો.
  • ઝડપ વધે કે ઘટે ત્યારે સમય કેટલા ગણા થાય તે સીધું ઝડપના ઊલટા ગુણાંકથી મળે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: બે ઝડપનો ગુણોત્તર 2 : 3 છે. સમાન અંતર કાપવા લાગતા સમયનો ગુણોત્તર શું?
  • અંતર સમાન છે તેથી સમય ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં — ગુણોત્તર ઊલટાવો.
  • ઝડપ 2 : 3 તેથી સમય = 3 : 2.
  • જવાબ: 3 : 2.

10. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો — ચીટ શીટ

પાયાના સૂત્રો

  • ઝડપ = અંતર ÷ સમય. અંતર = ઝડપ × સમય. સમય = અંતર ÷ ઝડપ.
  • ત્રિકોણ યાદ રાખો: ઉપર અંતર, નીચે ઝડપ અને સમય.

5/18 અને 18/5 નો નિયમ

  • કિમી/કલાક નાનું કરવા (મીટર/સેકન્ડ) એટલે 5/18 વડે ગુણો.
  • મીટર/સેકન્ડ મોટું કરવા (કિમી/કલાક) એટલે 18/5 વડે ગુણો.
  • ગોખો: 18=5, 36=10, 54=15, 72=20, 90=25 (કિમી/કલાક = મીટર/સેકન્ડ).

સરેરાશ ઝડપ — 2xy/(x+y)

  • સમાન અંતર, બે ઝડપ x અને y હોય તો સરેરાશ = 2xy ÷ (x + y).
  • સમાન સમય હોય ત્યારે જ સાદી સરેરાશ (x + y) ÷ 2 ચાલે.
  • ખરી વ્યાખ્યા હંમેશા: કુલ અંતર ÷ કુલ સમય.

સાપેક્ષ ઝડપ

  • વિરુદ્ધ દિશા હોય તો ઝડપ ઉમેરો. એક જ દિશા હોય તો ઝડપ બાદ કરો.
  • બે ટ્રેન પાર કરે ત્યારે કુલ અંતર = બંને લંબાઈનો સરવાળો.

હોડી અને પ્રવાહ

  • પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ = b + s (હોડી + પ્રવાહ).
  • પ્રવાહની વિરુદ્ધ ઝડપ = b − s (હોડી − પ્રવાહ).
  • હોડીની ઝડપ b = (દિશા + વિરુદ્ધ) ÷ 2. પ્રવાહ s = (દિશા − વિરુદ્ધ) ÷ 2.

ઝડપ અને સમયનો ગુણોત્તર

  • સમાન અંતર હોય તો ઝડપ અને સમય વ્યસ્ત પ્રમાણમાં — ગુણોત્તર ઊલટાવો.
  • ઝડપ a : b હોય તો સમય b : a.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.