મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

ગણિત પદ્ધતિ — સમય અને કાર્ય

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. પાયો — કુલ કામ એટલે દિવસોનો લ.સા.અ. (LCM પદ્ધતિ)

મુખ્ય વિચાર

  • સમય અને કાર્યના સવાલમાં સૌથી ઝડપી રસ્તો એ છે કે કુલ કામ ને અપૂર્ણાંક ગણવાને બદલે એક સંખ્યા (એકમ) તરીકે ગણવું.
  • નિયમ: કુલ કામ = બધા આપેલા દિવસોનો લ.સા.અ. (LCM) એકમ ધારો.
  • પછી દરેક માણસનો એક દિવસનો કામદર = કુલ કામ ÷ તેના દિવસ. આથી અપૂર્ણાંકને બદલે પૂર્ણ સંખ્યાથી જ આખો સવાલ ઉકલે છે.

કેમ આ ઝડપી છે

  • જૂની રીતે દર 1/a, 1/b એમ અપૂર્ણાંકમાં લખવા પડે અને છેદ સરખા કરવા પડે — સમય જાય.
  • LCM રીતે દર પૂર્ણ સંખ્યામાં આવે, સરવાળો સહેલો, અને જવાબ = કુલ કામ ÷ સંયુક્ત દર.
  • ઉદાહરણ: A 10 દિવસ, B 15 દિવસ. લ.સા.અ. = 30 એકમ કુલ કામ. A નો દર = 3 એકમ/દિવસ, B નો દર = 2 એકમ/દિવસ. સાથે = 5 એકમ/દિવસ. સમય = 30 ÷ 5 = 6 દિવસ.

યાદ રાખવાના પાયાના સૂત્ર

  • એક દિવસનું કામ = 1 ÷ કુલ દિવસ (અપૂર્ણાંક રીતે).
  • જેટલા દિવસ ઓછા, એટલી કાર્યક્ષમતા વધારે — સમય અને કાર્યક્ષમતા વ્યસ્ત પ્રમાણમાં.
  • કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર = દિવસોના ગુણોત્તરનો ઉલટો. A:B કાર્યક્ષમતા 3:2 હોય તો દિવસ 2:3.

2. એક માણસનો કામદર

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: જુઓ કે માણસ આખું કામ કેટલા દિવસમાં પૂરું કરે છે.
  • પગલું 2: એક દિવસનું કામ = 1 ÷ કુલ દિવસ.
  • પગલું 3: d દિવસમાં થયેલું કામ = d ÷ કુલ દિવસ.
  • પગલું 4: બાકીનું કામ = 1 − (થયેલું કામ).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • કુલ દિવસ ને છેદમાં મૂકો, અને જેટલા દિવસ કામ થયું તે અંશમાં — બસ અપૂર્ણાંક તૈયાર.
  • n દિવસમાં અમુક ભાગ થાય તે સીધું n/કુલ દિવસ. દા.ત. 15 દિવસનું કામ, 5 દિવસ કર્યું એટલે 5/15 = 1/3.
  • બાકી જોઈએ તો 1 માંથી બાદ કરો — અલગ ગણતરી નહીં.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: A એક કામ 20 દિવસમાં કરે છે. તે 8 દિવસ કામ કરે તો કેટલો ભાગ બાકી રહે?
  • ઉકેલ: 8 દિવસનું કામ = 8/20 = 2/5.
  • બાકી = 1 − 2/5 = 3/5 ભાગ. જવાબ: 3/5.

3. બે કે ત્રણ સાથે મળીને (1/a + 1/b)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: દરેકનો એક દિવસનો દર લખો — 1/a, 1/b, 1/c.
  • પગલું 2: બધા દર ઉમેરો = સંયુક્ત એક દિવસનો દર.
  • પગલું 3: સાથેનો સમય = 1 ÷ સંયુક્ત દર.
  • છેદ સરખા કરવાને બદલે દિવસોના લ.સા.અ. ને કુલ કામ ગણીને એકમમાં કરો — ઝડપી.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ફક્ત બે જણ માટે યાદ રાખો: સાથેનો સમય = (a × b) ÷ (a + b). ગુણ્યા ભાગ્યા — પત્યું.
  • દા.ત. 12 અને 18 દિવસ: (12×18)÷(12+18) = 216÷30 = 7.2 દિવસ.
  • ત્રણ જણ માટે: દિવસોનો લ.સા.અ. કુલ કામ ધારો, દરેકનો એકમ-દર ઉમેરો, કુલ કામ ÷ સરવાળો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: A 12 દિવસ, B 15 દિવસ, C 20 દિવસમાં કામ કરે. ત્રણેય સાથે કેટલા દિવસ?
  • ઉકેલ: લ.સા.અ. = 60 એકમ કુલ કામ. દર — A = 5, B = 4, C = 3 એકમ/દિવસ. સરવાળો = 12 એકમ/દિવસ.
  • સમય = 60 ÷ 12 = 5 દિવસ. જવાબ: 5 દિવસ.

4. સાથેનો સમય આપ્યો હોય, એકલાનો શોધવો

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: સાથેનો દર = 1 ÷ સાથેનો સમય.
  • પગલું 2: જે જણનો સમય ખબર છે તેનો દર = 1 ÷ તેનો સમય.
  • પગલું 3: બાકીના જણનો દર = સાથેનો દર − ખબરવાળાનો દર.
  • પગલું 4: બાકીના જણનો સમય = 1 ÷ તેનો દર.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બે જણ માટે સીધું સૂત્ર: એકલાનો સમય = (T × t) ÷ (t − T), જ્યાં T = સાથેનો સમય, t = ખબરવાળાનો સમય.
  • દા.ત. સાથે 6 દિવસ, B એકલો 9 દિવસ. A = (6×9)÷(9−6) = 54÷3 = 18 દિવસ.
  • ધ્યાન: બાદબાકી હંમેશા મોટા સમય માંથી સાથેનો સમય — જવાબ ધન રહે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: A અને B સાથે 4 દિવસમાં કામ કરે. A એકલો 12 દિવસમાં કરે. B એકલો કેટલા દિવસ?
  • ઉકેલ: B = (4×12)÷(12−4) = 48÷8 = 6 દિવસ.
  • જવાબ: 6 દિવસ.

5. વારાફરતી (એક-એક દિવસ) કામ

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: બે દિવસનું જોડ (A નો એક દિવસ + B નો એક દિવસ) નું કામ ગણો.
  • પગલું 2: જુઓ કેટલા આખા જોડમાં લગભગ આખું કામ થાય.
  • પગલું 3: જોડ × 2 = એટલા દિવસ, પછી બાકી રહેલું કામ વારા પ્રમાણે જે જણનો વારો હોય તેનાથી પૂરું કરો.
  • LCM એકમ વાપરો જેથી જોડનું કામ પૂર્ણ સંખ્યામાં આવે.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • કુલ કામ ÷ બે-દિવસનું જોડ-કામ = જોડની સંખ્યા. તેને 2 વડે ગુણો = મુખ્ય દિવસો.
  • જો બરાબર ભાગાય તો જવાબ સીધો; ભાગ રહે તો બાકી કામ આગળના વારાવાળાથી ઉમેરો.
  • દા.ત. A 9, B 18 દિવસ: જોડ = 2+1 = 3 એકમ (કુલ 18 એકમ). 18÷3 = 6 જોડ = 12 દિવસ — બરાબર પૂરું.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: A 10, B 15 દિવસમાં કરે. વારાફરતી, A પ્રથમ દિવસથી. પ્રથમ 2 દિવસમાં કેટલો ભાગ?
  • ઉકેલ: 2 દિવસનું = 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 ભાગ.
  • જવાબ: 1/6 ભાગ.

6. વચ્ચે કોઈ છોડે કે જોડાય

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: શરૂઆતમાં જે જણ સાથે હોય તેમનો સંયુક્ત દર ગણો.
  • પગલું 2: જેટલા દિવસ સાથે કામ કર્યું તેનું કામ = દિવસ × સંયુક્ત દર.
  • પગલું 3: બાકીનું કામ = 1 − (થયેલું કામ).
  • પગલું 4: જે જણ બાકી રહે તેના દરથી બાકી કામ ÷ દર = વધારાના દિવસ. કુલ સમય = પહેલાના દિવસ + આ દિવસ.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • LCM એકમ વાપરો: કુલ કામ પૂર્ણ સંખ્યા, દર પૂર્ણ સંખ્યા — બાદબાકી અને ભાગાકાર ઝડપી.
  • બાકી કામ (એકમ) ÷ બાકી રહેલા જણનો એકમ-દર = બાકી દિવસ. અપૂર્ણાંકની ઝંઝટ નહીં.
  • જે જણ છોડે તેનો ફાળો માત્ર જે દિવસ હાજર હતો તેટલા જ ગણવો — ભૂલ અહીં થાય છે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: A 24, B 12 દિવસ. સાથે શરૂ કરે, A 2 દિવસ પછી છોડે. બાકી કામ B કેટલા દિવસમાં પૂરું કરે?
  • ઉકેલ: લ.સા.અ. 24 એકમ. દર A = 1, B = 2. 2 દિવસનું સાથે = 2×3 = 6 એકમ. બાકી = 24 − 6 = 18 એકમ.
  • B ને = 18 ÷ 2 = 9 દિવસ. જવાબ: 9 દિવસ.

7. કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર (કોણ કેટલું ઝડપી)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: 'બમણો ઝડપી' એટલે કાર્યક્ષમતા બમણી, અને સમય અડધો.
  • પગલું 2: કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર = દિવસોના ગુણોત્તરનો ઉલટો.
  • પગલું 3: A:B કાર્યક્ષમતા x:y હોય તો સમય y:x.
  • પગલું 4: કુલ ભાગ ગણીને જે જોઈએ તે કાઢો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • 'k ગણો ઝડપી' = સમય ÷ k. દા.ત. B 16 દિવસ, A બમણો ઝડપી તો A = 16÷2 = 8 દિવસ.
  • સાથેનો સમય આપ્યો હોય: કુલ ભાગ ÷ A નો ભાગ × સાથેનો સમય = A એકલાનો સમય.
  • ઉલટાવાનું ભૂલશો નહીં — ઝડપી જણને હંમેશા ઓછા દિવસ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: A એ B કરતાં 3 ગણો ઝડપી. બંને સાથે 9 દિવસમાં કામ પૂરું. A એકલો કેટલા દિવસ?
  • ઉકેલ: કાર્યક્ષમતા A:B = 3:1, કુલ 4 ભાગ. A એકલો = 9 × (4/3) = 12 દિવસ.
  • જવાબ: 12 દિવસ.

8. માણસ-દિવસ (M1·D1/W1 = M2·D2/W2)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: પાયાનો નિયમ — (માણસ × દિવસ × કલાક) ÷ કામ બંને બાજુ સરખું રહે.
  • પગલું 2: સૂત્ર: M1·D1·H1 ÷ W1 = M2·D2·H2 ÷ W2.
  • પગલું 3: જે અજાણ્યું હોય તે છોડીને બાકીના આંકડા મૂકો.
  • પગલું 4: સાદો ગુણાકાર-ભાગાકાર કરી અજાણ્યું કાઢો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • જો કામ સરખું હોય તો માણસ × દિવસ = અચળ. માણસ બમણા તો દિવસ અડધા — સીધું.
  • ક્રોસ-ગુણાકાર કરો: અજાણ્યો દિવસ = (M1 × D1) ÷ M2.
  • કલાક પણ આપ્યા હોય તો માણસ × દિવસ × કલાક ને એક જ સંખ્યા ગણીને બંને બાજુ સરખી કરો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: 16 માણસો કામ 12 દિવસમાં કરે. એ જ કામ 8 દિવસમાં કરવા કેટલા માણસ જોઈએ?
  • ઉકેલ: માણસ-દિવસ અચળ: 16 × 12 = M × 8, એટલે 192 = 8M, M = 24.
  • જવાબ: 24 માણસો.

9. નળ અને ટાંકી (ભરનાર + ખાલી કરનાર)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: ભરનાર નળનો દર ધન (+), ખાલી કરનાર (નિકાસ) નળનો દર ઋણ (−) ગણો.
  • પગલું 2: બધા દર ઉમેરો = ચોખ્ખો દર.
  • પગલું 3: ભરાવાનો સમય = 1 ÷ ચોખ્ખો દર.
  • જો ચોખ્ખો દર ઋણ આવે તો ટાંકી ભરાય જ નહીં (ખાલી થાય).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • LCM ને ટાંકીની ક્ષમતા ધારો. ભરનારના એકમ-દર ઉમેરો, નિકાસના એકમ-દર બાદ કરો = ચોખ્ખો એકમ-દર.
  • સમય = ક્ષમતા ÷ ચોખ્ખો એકમ-દર — અપૂર્ણાંક વગર.
  • દા.ત. ભરનાર 8, નિકાસ 12 કલાક: ક્ષમતા 24, દર = 3 − 2 = 1. સમય = 24÷1 = 24 કલાક.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: બે ભરનાર નળ 12 અને 16 કલાક, એક નિકાસ નળ 24 કલાક. ત્રણેય સાથે ખુલ્લા તો કેટલા કલાક?
  • ઉકેલ: લ.સા.અ. 48 ક્ષમતા. દર = 4 + 3 − 2 = 5 એકમ/કલાક.
  • સમય = 48 ÷ 5 = 9.6 કલાક. જવાબ: 9.6 કલાક.

10. વેતનની વહેંચણી (કામના પ્રમાણમાં)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: વેતન હંમેશા જેણે જેટલું કામ કર્યું તેના પ્રમાણમાં વહેંચાય.
  • પગલું 2: કાર્યક્ષમતા (દર) નો ગુણોત્તર શોધો — એ જ વેતનનો ગુણોત્તર.
  • પગલું 3: કુલ ભાગ ઉમેરો.
  • પગલું 4: દરેકનો હિસ્સો = (તેનો ભાગ ÷ કુલ ભાગ) × કુલ વેતન.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • દિવસ આપ્યા હોય તો વેતનનો ગુણોત્તર = દિવસોનો ઉલટો ગુણોત્તર (ઓછા દિવસવાળાને વધારે વેતન).
  • બધાનો સમય સરખો હોય તો વેતન સીધું કાર્યક્ષમતા પ્રમાણમાં.
  • દા.ત. કાર્યક્ષમતા 3:2:1, કુલ વેતન ₹1800. છેલ્લાનો = (1/6)×1800 = ₹300.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: A 10, B 15 દિવસમાં કરે. સાથે કામ કરી ₹2500 મેળવે. A ને કેટલું?
  • ઉકેલ: કાર્યક્ષમતા = દિવસોનો ઉલટો = (1/10):(1/15) = 3:2, કુલ 5 ભાગ.
  • A = (3/5)×2500 = ₹1500. જવાબ: ₹1500.

11. સાંકળ નિયમ (Chain Rule)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: બધી બાબતો (માણસ, દિવસ, કલાક, કામ) એક બાજુ ગોઠવો.
  • પગલું 2: દરેક બાબત જવાબ સાથે સીધા પ્રમાણમાં છે કે વ્યસ્ત તે નક્કી કરો.
  • પગલું 3: માણસ-કલાક-દિવસ ને કામ ના પ્રમાણમાં ગોઠવો: (M1·D1·H1)÷W1 = (M2·D2·H2)÷W2.
  • પગલું 4: અજાણ્યું છોડી બાકીના આંકડા મૂકી ઉકેલો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બધી જાણીતી રકમ એક બાજુ ગુણીને એક સંખ્યા બનાવો, બીજી બાજુ બીજી — પછી ક્રોસ-ગુણાકાર.
  • ઉત્પાદન (કામ) જેટલું વધે તેટલા પ્રમાણમાં માણસ-કલાક-દિવસ વધે.
  • એક એકમ કામ માટે કેટલા માણસ-કલાક જોઈએ તે કાઢી લો, પછી નવી રકમથી ગુણો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • સવાલ: 12 માણસ રોજ 8 કલાક, 10 દિવસમાં 480 એકમ બનાવે. 15 માણસ રોજ 6 કલાક, 8 દિવસમાં કેટલા એકમ?
  • ઉકેલ: પ્રથમ = 12×8×10 = 960 માણસ-કલાક માટે 480 એકમ, એટલે 1 એકમ = 2 માણસ-કલાક. નવું = 15×6×8 = 720 માણસ-કલાક.
  • એકમ = 720 ÷ 2 = 360. જવાબ: 360 એકમ.

12. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો — ચીટ-શીટ

LCM ટ્રિક (સૌથી મહત્વનું)

  • કુલ કામ = બધા દિવસોનો લ.સા.અ. (LCM) એકમ ધારો.
  • દરેકનો એક દિવસનો દર = કુલ કામ ÷ તેના દિવસ (પૂર્ણ સંખ્યા આવે).
  • જવાબ = કુલ કામ ÷ સંયુક્ત દર. અપૂર્ણાંકની ઝંઝટ ખતમ.

સંયુક્ત-દર ઝડપી સૂત્ર

  • બે જણ સાથે: સમય = (a × b) ÷ (a + b).
  • સાથેનો સમય આપ્યો, એકલો શોધવો: એકલો = (T × t) ÷ (t − T).
  • નળ-ટાંકી: ભરનાર ધન, નિકાસ ઋણ — ચોખ્ખો દર = ભરનાર − નિકાસ.

કાર્યક્ષમતા અને માણસ-દિવસ

  • કાર્યક્ષમતા ગુણોત્તર = દિવસોનો ઉલટો ગુણોત્તર. ઝડપીને ઓછા દિવસ.
  • વેતન કાર્યક્ષમતા (કરેલા કામ) ના પ્રમાણમાં વહેંચાય.
  • માણસ-દિવસ-કલાક: M1·D1·H1 ÷ W1 = M2·D2·H2 ÷ W2. કામ સરખું હોય તો માણસ × દિવસ = અચળ.

ભૂલ ટાળો

  • વારાફરતીમાં બાકી રહેલું કામ આગળના વારાવાળાથી જ ઉમેરવું.
  • છોડે તે જણનો ફાળો માત્ર જે દિવસ હાજર હતો તેટલા જ.
  • ઉલટાવવાનું ભૂલશો નહીં — 'ઝડપી' એટલે ઓછા દિવસ, વધારે વેતન.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.