30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

રિઝનિંગ પદ્ધતિ — સંભાવના

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. સંભાવના એટલે શું? (પાયાની સમજ)

મૂળ સૂત્ર

•સંભાવના (P) = અનુકૂળ પરિણામો / કુલ પરિણામો. એટલે કે જે જોઈએ છે તેની સંખ્યા ઉપર, અને બધા જ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા નીચે.
•P નો જવાબ હંમેશા 0 અને 1 ની વચ્ચે જ આવે. જો જવાબ 1 કરતાં મોટો આવે તો ગણતરી ખોટી છે — તરત ચકાસો.
•જે ઘટના ચોક્કસ બને તેની P = 1, અને જે કદી ન બને તેની P = 0.
•જવાબ હંમેશા સાદા રૂપ (lowest terms) માં લખવો. જેમ કે 3/6 ને 1/2 લખવું, 4/52 ને 1/13 લખવું.

સૌથી પહેલા sample space (કુલ પરિણામો) યાદ રાખો

•1 સિક્કો = 2 પરિણામો | 2 સિક્કા = 4 | 3 સિક્કા = 8. (દરેક સિક્કે 2 ગણા થાય: 2, 4, 8)
•1 પાસો = 6 પરિણામો | 2 પાસા = 36 (6 × 6).
•પત્તાંની થોકડી = 52 પત્તાં.
•થેલીના દડા કે ટિકિટ = બધાનો સરવાળો જ કુલ. જેમ 3 લાલ + 2 વાદળી = કુલ 5.
•નીચે યાદ રાખવાનું એ ઝડપનું પહેલું પગથિયું છે — કુલ ખબર હોય તો અડધું કામ પૂરું.

બે મહત્ત્વના નિયમ

•પૂરક (complement) નિયમ: 'ઘટના ન બને' ની P = 1 − 'ઘટના બને' ની P. જેમ લાલ ન હોવાની P = 1 − લાલ હોવાની P.
•'ઓછામાં ઓછી એક' પૂછે ત્યારે સીધું ગણવા ન બેસો — 1 − (એકેય નહીં) વાપરો, બહુ ઝડપી પડે.

2. સિક્કા (1, 2, 3 સિક્કા)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: કુલ પરિણામો શોધો. 1 સિક્કો = 2, 2 સિક્કા = 4, 3 સિક્કા = 8.
પગલું 2: અનુકૂળ પરિણામો ગણો. છાપ = H, કાંટો = T એમ યાદીમાં લખો.
2 સિક્કા માટે યાદી: HH, HT, TH, TT (કુલ 4).
3 સિક્કા માટે યાદી: HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT (કુલ 8).
પગલું 3: P = અનુકૂળ / કુલ, અને સાદા રૂપમાં લખો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

'બરાબર r છાપ' ની રીતો = nCr. 3 સિક્કા માટે: 0 છાપ→1, 1 છાપ→3, 2 છાપ→3, 3 છાપ→1 (એટલે 1-3-3-1).
2 સિક્કા માટે રીતો: 0→1, 1→2, 2→1 (એટલે 1-2-1).
આ આંકડા ઉપર કુલ (4 કે 8) નીચે મૂકો — સીધો જવાબ. જેમ 3 સિક્કે બરાબર 2 છાપ = 3/8.
'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' = 1 − (બધા કાંટા). 2 સિક્કે = 1 − 1/4 = 3/4; 3 સિક્કે = 1 − 1/8 = 7/8.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: ત્રણ સિક્કા એકસાથે ઉછાળતાં બરાબર બે છાપ મળવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: કુલ પરિણામો = 8. બરાબર બે છાપની રીતો = 3C2 = 3 (HHT, HTH, THH). P = 3/8.
જવાબ: 3/8

3. એક પાસો (single die)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: કુલ પરિણામો = 6 (પાસા પર 1, 2, 3, 4, 5, 6).
પગલું 2: પ્રશ્નમાં માગેલી શરત પ્રમાણે અનુકૂળ સંખ્યાઓ યાદીમાં લખો અને ગણો.
પગલું 3: P = અનુકૂળ / 6, સાદા રૂપમાં લખો.
ઉપયોગી યાદી: બેકી = 2,4,6 (3 રીત) | એકી = 1,3,5 (3 રીત) | અવિભાજ્ય = 2,3,5 (3 રીત) | 3 ના ગુણાંક = 3,6 (2 રીત).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

છેદ હંમેશા 6 — માત્ર અંશ (કેટલી સંખ્યા શરત પાળે) ગણવાનો રહે.
બેકી/એકી/અવિભાજ્ય — ત્રણેયમાં 3 સંખ્યા આવે, એટલે ત્રણેયની P = 3/6 = 1/2. યાદ રાખી લો.
'એક ચોક્કસ આંકડો' (જેમ 4) = હંમેશા 1/6.
'4 કરતાં મોટી' = 5,6 = 2/6 = 1/3; '4 કે વધુ' = 4,5,6 = 3/6 = 1/2 — 'કરતાં મોટી' અને 'કે વધુ' નો ભેદ ધ્યાનથી વાંચો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: એક પાસો ફેંકતાં અવિભાજ્ય (prime) સંખ્યા આવવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: કુલ = 6. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ = 2, 3, 5 એટલે 3 રીત. P = 3/6 = 1/2.
જવાબ: 1/2

4. બે પાસા (two dice — સરવાળાનું કોષ્ટક)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: કુલ પરિણામો = 36 (6 × 6).
પગલું 2: માગેલા સરવાળા (કે ગુણાકાર) માટેની જોડ ગણો — પહેલા પાસાનો આંકડો, બીજા પાસાનો આંકડો એમ (a, b).
પગલું 3: P = જોડની સંખ્યા / 36, સાદા રૂપમાં.
સરવાળાની રીતોની યાદ-યાદી: 2→1, 3→2, 4→3, 5→4, 6→5, 7→6, 8→5, 9→4, 10→3, 11→2, 12→1. (7 સુધી વધે, પછી ઘટે.)

30 સેકન્ડ ટ્રિક

સરવાળો 7 સૌથી વધુ રીતે (6 રીત) આવે — P = 6/36 = 1/6. આ સૌથી વધુ પૂછાય છે, યાદ રાખો.
ત્રિકોણ-યુક્તિ: 2 થી 7 સુધી રીતો 1,2,3,4,5,6 એમ વધે; 7 પછી 5,4,3,2,1 એમ ઘટે. કોઈ સરવાળાની રીત તરત મળે.
Doublet (બંને સરખા: 1-1...6-6) = 6 રીત = 1/6.
ગુણાકાર પૂછે તો જોડ સીધી ગણો: જેમ ગુણાકાર 12 = (2,6),(6,2),(3,4),(4,3) = 4 રીત = 1/9.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: બે પાસા એકસાથે ફેંકતાં બંને સંખ્યાનો સરવાળો 8 આવવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: કુલ = 36. સરવાળો 8 ની જોડ = (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) = 5 રીત. P = 5/36 (વધુ સાદું ન થાય).
જવાબ: 5/36

5. પત્તાંની થોકડી (52 પત્તાં)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: કુલ = 52 પત્તાં. 4 રંગ (suit), દરેકમાં 13 પત્તાં (4 × 13 = 52).
પગલું 2: પૂરી થોકડીની વહેંચણી મનમાં રાખો — નીચે આપેલી.
પગલું 3: માગેલા પત્તાંની સંખ્યા ઉપર, 52 નીચે, સાદા રૂપમાં.
વહેંચણી: 4 રંગ = ઈંટ (heart, લાલ), ચોકટ (diamond, લાલ), કાળીદાંડી (spade, કાળું), ચોકઠ (club, કાળું).
લાલ પત્તાં = 26 (ઈંટ + ચોકટ); કાળાં પત્તાં = 26 (કાળીદાંડી + ચોકઠ).
દરેક પ્રકાર (એક્કો, રાજા, રાણી, ગુલામ, 2 થી 10) ના 4-4 પત્તાં — દરેક રંગમાં એક.
ચિત્રપત્તાં (face cards) = રાજા + રાણી + ગુલામ = 4 + 4 + 4 = 12 પત્તાં.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

જે વસ્તુ 'ચારેય રંગમાં એક-એક' હોય (રાજા, રાણી, એક્કો, કોઈ એક આંકડો) તેની P = 4/52 = 1/13.
આખો એક રંગ (જેમ ઈંટ) = 13/52 = 1/4.
લાલ કે કાળું = 26/52 = 1/2.
ચિત્રપત્તું = 12/52 = 3/13. એક ચોક્કસ પત્તું (જેમ કાળીદાંડીનો એક્કો) = 1/52.
'કાળો રાજા' જેવા બે-શરત = 2/52 = 1/26 (કાળીદાંડી + ચોકઠ ના રાજા).

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું કાઢતાં તે ચિત્રપત્તું (રાજા/રાણી/ગુલામ) હોવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: ચિત્રપત્તાં = 4 રાજા + 4 રાણી + 4 ગુલામ = 12. કુલ = 52. P = 12/52 = 3/13.
જવાબ: 3/13

6. થેલીમાંથી દડા (રંગ પ્રમાણે)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: બધા રંગના દડા સરવાળો કરો — એ જ કુલ. જેમ 5 લાલ + 3 લીલા + 2 કાળા = કુલ 10.
પગલું 2: માગેલા રંગના દડાની સંખ્યા = અનુકૂળ.
પગલું 3: P = માગેલા રંગ / કુલ, સાદા રૂપમાં.
'અમુક રંગ ન હોવાની' P પૂછે તો = બાકીના બધા રંગના દડા / કુલ, અથવા 1 − (એ રંગ હોવાની P).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

છેદ હંમેશા બધા દડાનો સરવાળો — પહેલા એ જ લખી લો, ભૂલ નહીં થાય.
'ન હોવાની' પૂછે ત્યારે પૂરક વાપરો: 1 − (એ રંગની P). જેમ લાલ 4, કુલ 10 → લાલ ન હોવાની = 1 − 4/10 = 6/10 = 3/5.
બરાબર અડધા દડા એક રંગના હોય તો એ રંગની P = 1/2 — સીધું દેખાય તો ગણવા ન બેસો.
જવાબ સાદા રૂપમાં લખવાનું ભૂલશો નહીં: 4/10 → 2/5.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: એક થેલીમાં 4 લાલ અને 6 વાદળી દડા છે. એક દડો ઉપાડતાં તે લાલ ન હોવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: કુલ = 4 + 6 = 10. લાલ ન હોવું એટલે વાદળી = 6. P = 6/10 = 3/5. (અથવા 1 − 4/10 = 6/10 = 3/5.)
જવાબ: 3/5

7. 'ઓછામાં ઓછી એક' — પૂરક ટ્રિક (1 − P(none))

પદ્ધતિ (Step-by-step)

'ઓછામાં ઓછી એક' ની બધી રીતો સીધી ગણવી લાંબુ પડે — તેને બદલે ઊલટું વિચારો.
પગલું 1: 'એકેય નહીં' (none) ની સંભાવના શોધો — એ સહેલું હોય છે.
પગલું 2: જવાબ = 1 − (એકેય નહીંની P).
દા.ત. સિક્કામાં 'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' = 1 − (બધા કાંટા). 2 સિક્કે બધા કાંટા = TT = 1/4.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

'ઓછામાં ઓછી એક' વાંચતા જ મગજમાં લખો: 1 − (none).
n સિક્કા: ઓછામાં ઓછી એક છાપ = 1 − 1/(2 ની n ઘાત). 2 સિક્કે = 1 − 1/4 = 3/4; 3 સિક્કે = 1 − 1/8 = 7/8.
'ઓછામાં ઓછી એક' ની P લગભગ હંમેશા 1 ની નજીક (મોટી) આવે — જો નાની આવે તો ભૂલ છે, ચકાસો.
'બધા' કે 'એકેય નહીં' જેવી છેડાની ઘટના સહેલી હોય; એ ગણીને પૂરક લઈ લો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: ત્રણ સિક્કા એકસાથે ઉછાળતાં ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: 'એકેય છાપ નહીં' એટલે ત્રણેય કાંટા (TTT) = 1 રીત, કુલ 8 → P(none) = 1/8. જવાબ = 1 − 1/8 = 7/8.
જવાબ: 7/8

8. પસંદગી (simple selection — nCr)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

જ્યારે એકસાથે એક કરતાં વધુ વસ્તુ પસંદ થાય ત્યારે ગણતરી nCr (કોમ્બિનેશન) થી થાય.
nCr = n! / (r! × (n−r)!). સહેલું: nC2 = n × (n−1) / 2.
પગલું 1: કુલ રીત = (કુલ વસ્તુ) C (પસંદ કરવાની સંખ્યા) — આ છેદ.
પગલું 2: અનુકૂળ રીત = (જોઈતા જૂથની વસ્તુ) C (પસંદ સંખ્યા) — આ અંશ.
પગલું 3: P = અનુકૂળ / કુલ, સાદા રૂપમાં.
એક જ વસ્તુ પસંદ થાય (r = 1) તો nC1 = n — એટલે સાદો ભાગાકાર જ થાય, જેમ 3 છોકરી / 8 કુલ = 3/8.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

nC2 ઝડપથી: n ને (n−1) સાથે ગુણીને 2 વડે ભાગો. જેમ 8C2 = 8×7/2 = 28; 5C2 = 5×4/2 = 10.
nC1 = n અને nCn = 1 — આ બે તરત વાપરો.
nCr = nC(n−r): જેમ 8C6 = 8C2 = 28. મોટો r હોય તો નાનામાં ફેરવી લો, ગણતરી હળવી થાય.
એક જ વસ્તુ પસંદ થાય તો કોમ્બિનેશન વાપરવાની જરૂર નથી — સીધો જૂથ/કુલ ભાગાકાર.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: એક થેલીમાં 3 લાલ અને 5 કાળા દડા છે. તેમાંથી બે દડા એકસાથે ઉપાડતાં બંને કાળા હોવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: કુલ રીત = 8C2 = 8×7/2 = 28. બંને કાળા = 5C2 = 5×4/2 = 10. P = 10/28 = 5/14.
જવાબ: 5/14

9. ટિકિટ / સંખ્યા (ગુણાંક, વિભાજ્ય)

પદ્ધતિ (Step-by-step)

પગલું 1: કુલ ટિકિટ = આપેલી શ્રેણીમાં કેટલી સંખ્યા. જેમ 1 થી 20 = કુલ 20.
પગલું 2: માગેલી શરત (ગુણાંક / વિભાજ્ય / પૂર્ણ વર્ગ) પાળતી સંખ્યાઓ યાદીમાં લખીને ગણો.
પગલું 3: P = એ સંખ્યાઓ / કુલ, સાદા રૂપમાં.
ગુણાંક ગણવાની ઝડપી રીત: કુલ ને એ આંકડા વડે ભાગો. જેમ 1 થી 20 માં 3 ના ગુણાંક = 20 ÷ 3 = 6 (પૂર્ણાંક ભાગ).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

'k ના ગુણાંક' ની સંખ્યા = કુલ ÷ k નો પૂર્ણાંક ભાગ. જેમ 1-25 માં 5 ના ગુણાંક = 25÷5 = 5.
'k વડે વિભાજ્ય' એ 'k ના ગુણાંક' જેવું જ — એ જ ભાગાકાર-ટ્રિક.
પૂર્ણ વર્ગ યાદ રાખો: 1,4,9,16,25,36... 1-25 સુધી 5 પૂર્ણ વર્ગ (1,4,9,16,25).
અવિભાજ્ય સંખ્યા પૂછે તો યાદીમાંથી જ ગણવી પડે (કોઈ ભાગાકાર-ટ્રિક નહીં) — 1 અવિભાજ્ય નથી તે યાદ રાખો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

પ્રશ્ન: 1 થી 20 સુધી ક્રમાંકિત 20 ટિકિટમાંથી એક ટિકિટ કાઢતાં તેના પર 3 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા હોવાની સંભાવના કેટલી?
ઉકેલ: 3 વડે વિભાજ્ય = 3,6,9,12,15,18 = 6 (અથવા 20÷3 = 6). કુલ = 20. P = 6/20 = 3/10.
જવાબ: 3/10

10. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો (cheat-sheet)

Sample space (કુલ પરિણામો)

•સિક્કા: 1 → 2 | 2 → 4 | 3 → 8 (દર સિક્કે બમણા).
•પાસા: 1 → 6 | 2 → 36.
•પત્તાં: 52. થેલી/ટિકિટ: બધાનો સરવાળો = કુલ.

પત્તાંની થોકડી (52) — પૂરી વહેંચણી

•4 રંગ × 13 = 52. રંગ: ઈંટ, ચોકટ (લાલ) + કાળીદાંડી, ચોકઠ (કાળું).
•લાલ = 26, કાળું = 26. દરેક રંગ = 13 = 1/4.
•ચિત્રપત્તાં = 12 (4 રાજા + 4 રાણી + 4 ગુલામ) = 3/13.
•રાજા/રાણી/એક્કો/કોઈ એક આંકડો = 4 દરેક = 1/13. એક ચોક્કસ પત્તું = 1/52. કાળો રાજા = 2 = 1/26.

બે પાસા — સરવાળાનું કોષ્ટક (રીતો)

•સરવાળો 2→1, 3→2, 4→3, 5→4, 6→5, 7→6 રીત.
•સરવાળો 8→5, 9→4, 10→3, 11→2, 12→1 રીત.
•7 સૌથી વધુ = 6/36 = 1/6. Doublet = 6 = 1/6.
•બધી રીતે છેદ 36; યાદ-યુક્તિ 1-2-3-4-5-6-5-4-3-2-1.

ઝડપી પરિણામો + ટ્રિક

1 સિક્કો છાપ = 1/2. પાસે એક આંકડો = 1/6. પાસે બેકી/એકી/અવિભાજ્ય = 1/2.
'ઓછામાં ઓછી એક' = 1 − (એકેય નહીં). n સિક્કે = 1 − 1/(2^n).
'ન હોવાની' = 1 − (હોવાની). nC2 = n×(n−1)/2.
'k ના ગુણાંક / વિભાજ્ય' ની સંખ્યા = કુલ ÷ k (પૂર્ણાંક ભાગ). જવાબ હંમેશા સાદા રૂપમાં.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.