મુખ્ય સામગ્રી પર જાઓ
બધી પદ્ધતિ
30 સેકન્ડમાં ઉકેલવાની પદ્ધતિ

રિઝનિંગ પદ્ધતિ — વેન ડાયાગ્રામ

પદ્ધતિ વાંચીને ટેસ્ટ આપો

1. વેન ડાયાગ્રામ એટલે શું? (પાયાની સમજ)

વેન ડાયાગ્રામ એટલે વર્તુળોથી વર્ગો વચ્ચેનો સંબંધ બતાવવાની રીત. વર્તુળ, છેદ (ઓવરલેપ) અને અંદર-બહારનો અર્થ સમજો.

વેન ડાયાગ્રામ શું છે?

  • વેન ડાયાગ્રામ એ વર્તુળોની મદદથી જુદા-જુદા વર્ગ (groups) વચ્ચેનો સંબંધ બતાવવાની સહેલી રીત છે.
  • દરેક વર્તુળ એક વર્ગ દર્શાવે છે. જેમ કે એક વર્તુળ 'વિદ્યાર્થી', બીજું વર્તુળ 'રમતવીર'.
  • વર્તુળ દોરો ત્યારે યાદ રાખો — મોટો વર્ગ મોટું વર્તુળ, નાનો વર્ગ નાનું વર્તુળ.

ઓવરલેપ (છેદ) એટલે શું?

  • જ્યારે બે વર્તુળ એકબીજાને છેદે (ઓવરલેપ થાય), ત્યારે વચ્ચેનો સહિયારો ભાગ એ બંને વર્ગમાં આવતી વસ્તુઓ બતાવે છે.
  • દાખલા તરીકે 'ડૉક્ટર' અને 'સ્ત્રી' વર્તુળ છેદે, તો વચ્ચેનો ભાગ એટલે 'સ્ત્રી ડૉક્ટર' — જે બંને છે.
  • જો કોઈ સહિયારો ભાગ ન હોય (બંને વર્ગમાં કંઈ સામાન્ય ન હોય) તો વર્તુળ અલગ-અલગ દોરો, છેદે નહીં.
  • ઓવરલેપ ન હોય તેને 'અલગ' (disjoint) કહેવાય; જેમ 'પુરુષ' અને 'સ્ત્રી'.

વર્તુળ અંદર વર્તુળ એટલે શું?

  • જો એક વર્ગ સંપૂર્ણપણે બીજા વર્ગનો ભાગ હોય, તો નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર દોરો.
  • જેમ કે 'ગુજરાત' ભારતની અંદર છે, માટે ગુજરાતનું વર્તુળ ભારતના વર્તુળની અંદર આવે.
  • આને 'સબસેટ' (subset) સંબંધ કહેવાય — બધી જ ગુજરાતની વસ્તુ ભારતમાં છે જ.
  • ત્રણ સ્તર પણ બને: એશિયા > ભારત > ગુજરાત — એક અંદર બીજું, બીજામાં ત્રીજું.

ત્રણ મુખ્ય સંબંધ યાદ રાખો

  • 1) સબસેટ (એક અંદર બીજું): બધા X એ Y છે — દા.ત. બધા ગુલાબ ફૂલ છે.
  • 2) અલગ (છેદે નહીં): કોઈ X એ Y નથી — દા.ત. કોઈ પુરુષ સ્ત્રી નથી.
  • 3) ઓવરલેપ (છેદે): કેટલાક X એ Y છે — દા.ત. કેટલાક શિક્ષક વાચક છે.
  • મોટાભાગના વેન ડાયાગ્રામ પ્રશ્નો આ ત્રણ સંબંધના મિશ્રણથી જ બને છે.

2. વર્ગો વચ્ચે યોગ્ય સંબંધ શોધો (સબસેટ / અલગ / ઓવરલેપ)

આપેલા શબ્દો વચ્ચે કયો સંબંધ બને છે — એક અંદર બીજું, અલગ કે છેદતા — તે ઝડપથી નક્કી કરવાની રીત.

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: દરેક શબ્દ વાંચો અને જોડ બનાવો — પહેલા-બીજા, બીજા-ત્રીજા, પહેલા-ત્રીજા.
  • પગલું 2: દરેક જોડ માટે મનમાં પૂછો — 'શું બધા A એ B છે?' જો હા, તો A વર્તુળ B ની અંદર (સબસેટ).
  • પગલું 3: પૂછો — 'શું કોઈ A એ B નથી?' જો સાવ અલગ વર્ગ હોય તો વર્તુળ અલગ દોરો (છેદે નહીં).
  • પગલું 4: પૂછો — 'શું કેટલાક A એ B છે?' જો અંશતઃ સામાન્ય હોય તો વર્તુળ છેદે (ઓવરલેપ).
  • પગલું 5: ત્રણેય જોડના સંબંધ ભેગા કરી આખું ચિત્ર બનાવો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ઝડપી તપાસ: 'બધા' = અંદર (સબસેટ), 'કોઈ નહીં' = અલગ, 'કેટલાક' = છેદ.
  • પ્રકાર vs પ્રકાર (બે ભાઈ-બહેન વર્ગ, એક જ માતા-વર્ગના): દા.ત. કૂતરો-બિલાડી, કાગડો-કબૂતર — બંને અલગ વર્તુળ, પણ મોટા વર્ગ (પ્રાણી/પક્ષી) ની અંદર.
  • ભૌગોલિક/સ્તર સંબંધ (ગામ-જિલ્લો-રાજ્ય-દેશ): હંમેશા એક અંદર બીજું.
  • જો બે વર્ગ સ્પષ્ટ વિરોધી હોય (પુરુષ-સ્ત્રી) તો કદી છેદે નહીં — અલગ જ રાખો.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 'પ્રાણી, કૂતરો, બિલાડી' વચ્ચેનો સાચો વેન ડાયાગ્રામ કયો? કૂતરો અને બિલાડી બંને પ્રાણી છે, પણ કૂતરો બિલાડી નથી.
  • ઉકેલ: બધા કૂતરા પ્રાણી છે અને બધી બિલાડી પ્રાણી છે — માટે કૂતરો અને બિલાડી બંને 'પ્રાણી' વર્તુળની અંદર. પણ કૂતરો બિલાડી નથી — માટે એ બે અંદરના વર્તુળ એકબીજાથી અલગ.
  • જવાબ: એક મોટા વર્તુળ (પ્રાણી) ની અંદર બે અલગ-અલગ નાના વર્તુળ (કૂતરો, બિલાડી).

3. આપેલા ડાયાગ્રામમાંથી સાચો પસંદ કરો

વિકલ્પમાં દોરેલા જુદા-જુદા આકૃતિમાંથી શબ્દોને બંધ બેસતો ડાયાગ્રામ ઝડપથી પસંદ કરવાની રીત.

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: પહેલા આપેલા શબ્દો વચ્ચે ખરો સંબંધ જાતે મનમાં નક્કી કરો (અંદર/અલગ/છેદ).
  • પગલું 2: પછી દરેક વિકલ્પ-આકૃતિ સામે મેળવો — જે તમારા સંબંધ સાથે બરાબર બંધ બેસે તે જ સાચો.
  • પગલું 3: ખોટા વિકલ્પ કાઢી નાખો — જે ઊલટો સંબંધ બતાવે (નાનાની અંદર મોટું) તે તરત રદ કરો.
  • પગલું 4: એક-એક જોડ ચકાસો; એક પણ જોડ ખોટી હોય તો આખો વિકલ્પ ખોટો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • પહેલા 'ઊલટી દિશા' વાળા વિકલ્પ કાઢો: જો ગુજરાતની અંદર ભારત બતાવ્યું હોય તો એ તરત ખોટું.
  • મોટો વર્ગ કોણ છે તે પકડો — સૌથી મોટું વર્તુળ એ સૌથી મોટા વર્ગનું જ હોવું જોઈએ.
  • 'ત્રણેય એક જ વર્તુળ' કે 'ત્રણેય સાવ અલગ' જેવા છેડાના વિકલ્પ મોટેભાગે ખોટા હોય — ધ્યાનથી જ સ્વીકારો.
  • જવાબ ભલે જાતે દોરો — મનમાં આકૃતિ બનાવી પછી જ વિકલ્પ જુઓ, એટલે ગૂંચવાશો નહીં.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 'ગુજરાત, ભારત, એશિયા' વચ્ચેનો સાચો વેન ડાયાગ્રામ કયો?
  • ઉકેલ: ગુજરાત ભારતનો ભાગ છે અને ભારત એશિયાનો ભાગ છે. માટે સૌથી મોટું વર્તુળ એશિયા, તેની અંદર ભારત, અને ભારતની અંદર ગુજરાત. 'ગુજરાતની અંદર ભારત' બતાવતો વિકલ્પ ઊલટો હોવાથી તરત રદ.
  • જવાબ: એશિયાની અંદર ભારત, અને ભારતની અંદર ગુજરાત (એક અંદર બીજું).

4. વિભાગ ગણતરી (ફક્ત-X / બરાબર-બે / ત્રણેય / એકેય નહીં)

વેન ડાયાગ્રામના દરેક ભાગની સંખ્યા આપી હોય ત્યારે 'ફક્ત', 'બરાબર બે', 'ઓછામાં ઓછું એક' જેવા પ્રશ્નોના જવાબ ગણવાની રીત.

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: ડાયાગ્રામના 7 ભાગ ઓળખો — ફક્ત A, ફક્ત B, ફક્ત C, ફક્ત A∩B, ફક્ત B∩C, ફક્ત A∩C, અને A∩B∩C (ત્રણેય).
  • પગલું 2: 'ફક્ત X' = જ્યાં માત્ર એ એક જ વર્તુળનો ભાગ — બીજામાં ભળતો ભાગ બાદ.
  • પગલું 3: 'બરાબર બે' = ત્રણેય બે-બે ના છેદ ભાગ ભેગા કરો (વચ્ચેનો ત્રણેય ભાગ ન ગણો).
  • પગલું 4: 'ઓછામાં ઓછા બે' = બધા છેદ ભાગ + ત્રણેયનો ભાગ.
  • પગલું 5: 'ઓછામાં ઓછું એક' = બધા 7 ભાગનો સરવાળો. 'એકેય નહીં' = કુલ − ઓછામાં ઓછું એક.
  • પગલું 6: કોઈ એક વર્તુળનો 'કુલ' = એ વર્તુળમાં આવતા બધા ભાગનો સરવાળો.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ભાગ-આધારિત પ્રશ્નોમાં માત્ર સરવાળો-બાદબાકી છે — સૂત્ર નહીં. ડાયાગ્રામ જોઈ સીધા ભાગ ઉમેરો.
  • 'ફક્ત' શબ્દ દેખાય તો બાકીના બધા ભળતા ભાગ બાદ કરો.
  • 'ઓછામાં ઓછા બે' = બધા છેદ ભાગ ભેગા. 'બરાબર બે' = એમાંથી ત્રણેયનો ભાગ બાદ નહીં, પણ ફક્ત જોડી-છેદ જ.
  • ઓછામાં ઓછું એક માટે આખો ડાયાગ્રામ ભરો — સાતેય ભાગનો સરવાળો, બસ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: ત્રણ વર્તુળ A, B, C માં — ફક્ત A=12, ફક્ત B=9, ફક્ત C=7, ફક્ત A∩B=4, ફક્ત B∩C=5, ફક્ત A∩C=3, A∩B∩C=6. જે ઓછામાં ઓછા બે વર્તુળમાં આવે તેવા તત્ત્વ કેટલા?
  • ઉકેલ: ઓછામાં ઓછા બે = બધા છેદ ભાગ + ત્રણેયનો ભાગ = ફક્ત A∩B + ફક્ત B∩C + ફક્ત A∩C + A∩B∩C = 4 + 5 + 3 + 6 = 18.
  • જવાબ: 18.

5. બે વર્ગનું સૂત્ર — n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

બે વર્ગ (દા.ત. ચા-કૉફી, ગણિત-વિજ્ઞાન) વાળા પ્રશ્નોમાં ઓછામાં ઓછું એક, ફક્ત એક અને એકેય નહીં ઝડપથી કાઢવાનું મુખ્ય સૂત્ર.

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: મુખ્ય સૂત્ર લખો — ઓછામાં ઓછું એક = n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B).
  • પગલું 2: અહીં n(A∩B) એટલે 'બંને' વાળાની સંખ્યા. એને બે વાર ગણાય નહીં માટે એક વાર બાદ કરો.
  • પગલું 3: 'ફક્ત A' = n(A) − બંને; 'ફક્ત B' = n(B) − બંને.
  • પગલું 4: 'ફક્ત એક' = ફક્ત A + ફક્ત B = n(A) + n(B) − 2 × બંને.
  • પગલું 5: 'એકેય નહીં' = કુલ − ઓછામાં ઓછું એક.
  • પગલું 6: 'બંને' જોઈતું હોય તો સૂત્ર ઊલટાવો — બંને = n(A) + n(B) − ઓછામાં ઓછું એક.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • બધી ગણતરી એક જ સૂત્રથી — 'સરવાળો બાદ બંને'. એ ગોખી લો તો અડધો પ્રશ્ન પૂરો.
  • 'એકેય નહીં' આપ્યું હોય તો ઓછામાં ઓછું એક = કુલ − એકેય નહીં; પછી બંને = A + B − (એ).
  • 'ફક્ત એક' ઝડપથી: A + B − (2 × બંને). બે વાર બાદ કરવાનું ભૂલશો નહીં.
  • આંકડા સીધા સૂત્રમાં મૂકો; ડાયાગ્રામ દોરવાની જરૂર નથી — મગજમાં જ ગણાય.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: એક ઑફિસમાં 50 કર્મચારી છે. 28 અંગ્રેજી જાણે છે, 22 હિન્દી જાણે છે અને 5 એકેય ભાષા જાણતા નથી. કેટલા કર્મચારી બંને ભાષા જાણે છે?
  • ઉકેલ: ઓછામાં ઓછું એક = કુલ − એકેય નહીં = 50 − 5 = 45. હવે બંને = n(A) + n(B) − ઓછામાં ઓછું એક = 28 + 22 − 45 = 5.
  • જવાબ: 5.

6. ત્રણ વર્ગનું સૂત્ર — સમાવેશ-બાકાત (Inclusion-Exclusion)

ત્રણ વર્ગ (દા.ત. ગણિત-ભૌતિક-રસાયણ) વાળા પ્રશ્નોમાં ઓછામાં ઓછું એક, ફક્ત એક, બરાબર બે અને એકેય નહીં કાઢવાનું મોટું સૂત્ર.

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: મુખ્ય સૂત્ર — ઓછામાં ઓછું એક = A + B + C − (A∩B) − (B∩C) − (A∩C) + (A∩B∩C).
  • પગલું 2: અહીં A∩B વગેરે 'જોડી-છેદ' છે — એ ત્રણેયનો ભાગ પણ સમાવે છે (જ્યાં સુધી પ્રશ્ન 'ફક્ત' ન કહે).
  • પગલું 3: 'એકેય નહીં' = કુલ − ઓછામાં ઓછું એક.
  • પગલું 4: 'ફક્ત A' = A − (A∩B) − (A∩C) + (A∩B∩C). (ત્રણેયનો ભાગ બે વાર બાદ થયો માટે એક વાર પાછો ઉમેરો.)
  • પગલું 5: 'બરાબર બે' = (A∩B − ત્રણેય) + (B∩C − ત્રણેય) + (A∩C − ત્રણેય).
  • પગલું 6: 'ફક્ત એક' = ઓછામાં ઓછું એક − બરાબર બે − ત્રણેય.

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • ઓછામાં ઓછું એક યાદ રાખવા: 'એકલા ઉમેરો, જોડી બાદ કરો, ત્રણેય પાછા ઉમેરો' (+ + + − − − +).
  • 'બરાબર બે' ઝડપથી: ત્રણેય જોડી-છેદનો સરવાળો − (3 × ત્રણેયનો ભાગ). (દરેક જોડીમાંથી ત્રણેય એક વાર બાદ.)
  • આપેલા જોડી-આંકડા 'ફક્ત જોડી' છે કે 'ત્રણેય સહિત' છે તે પહેલા નક્કી કરો — અહીં મોટાભાગે ત્રણેય સહિત હોય.
  • જવાબ-ચકાસણી: બધા 7 ભાગ ભેગા કરો — તે ઓછામાં ઓછું એક જેટલા જ આવવા જોઈએ.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 100 વિદ્યાર્થીમાં 45 ગણિત, 38 ભૌતિક, 42 રસાયણ ભણે છે. 18 ગણિત-ભૌતિક, 15 ભૌતિક-રસાયણ, 20 ગણિત-રસાયણ અને 8 ત્રણેય ભણે છે. ઓછામાં ઓછું એક વિષય ભણતા વિદ્યાર્થી કેટલા?
  • ઉકેલ: ઓછામાં ઓછું એક = 45 + 38 + 42 − 18 − 15 − 20 + 8 = 125 − 53 + 8 = 80.
  • જવાબ: 80. (અને એકેય નહીં = 100 − 80 = 20.)

7. ઓછામાં ઓછો / વધુમાં વધુ છેદ (Min-Max)

ફક્ત બે વર્ગની સંખ્યા અને કુલ આપ્યા હોય ત્યારે 'બંને' ની ઓછામાં ઓછી કે વધુમાં વધુ સંખ્યા કાઢવાની ઝડપી રીત.

પદ્ધતિ (Step-by-step)

  • પગલું 1: 'વધુમાં વધુ બંને' = બેમાંથી નાની સંખ્યા જેટલા. (નાનો વર્ગ આખો મોટા વર્ગમાં સમાઈ જાય તેવી સ્થિતિ.)
  • પગલું 2: 'ઓછામાં ઓછા બંને' = A + B − કુલ. (ઓવરલેપ વગર બધાને સમાવી શકાય નહીં ત્યારે ફરજિયાત છેદ થાય.)
  • પગલું 3: જો A + B કુલ કરતા ઓછું હોય તો ઓછામાં ઓછા બંને = 0 (છેદ ફરજિયાત નથી).
  • પગલું 4: ટકાવારી હોય તો કુલ = 100% ગણો અને એ જ સૂત્ર વાપરો.
  • પગલું 5: 'દરેક ઓછામાં ઓછી એક' આપ્યું હોય તો ઓછામાં ઓછું એક = કુલ; પછી બંને = A + B − કુલ (બરાબર).

30 સેકન્ડ ટ્રિક

  • વધુમાં વધુ છેદ = નાની સંખ્યા. એક જ નજરમાં જવાબ.
  • ઓછામાં ઓછો છેદ = A + B − કુલ. જો જવાબ ઋણ આવે તો 0 લખો.
  • ટકાવારી પ્રશ્નમાં: 'ઓછામાં ઓછા બંને' = (પહેલી % + બીજી %) − 100.
  • 'દરેક ઓછામાં ઓછી એક રમત રમે' એ વાક્ય જોતા જ સમજો — હવે છેદ બરાબર A + B − કુલ થઈ જશે.

ઉદાહરણ (ઉકેલ સાથે)

  • પ્રશ્ન: 60% લોકોને ચા ભાવે છે અને 70% લોકોને કૉફી ભાવે છે. તો બંને ભાવતા હોય તેવા લોકોની ઓછામાં ઓછી ટકાવારી કેટલી હોઈ શકે?
  • ઉકેલ: ઓછામાં ઓછા બંને = (પહેલી % + બીજી %) − 100 = (60 + 70) − 100 = 30%. (કુલ વધુમાં વધુ 100% હોવાથી આટલો છેદ ફરજિયાત છે.)
  • જવાબ: 30%.

8. ⚡ ઝડપ માટે યાદ રાખો (સૂત્ર-સંગ્રહ)

વેન ડાયાગ્રામના બધા જરૂરી સૂત્ર એક જ જગ્યાએ — પરીક્ષાના આગલા દિવસે ઝડપી ઊથલો માટે.

બે વર્ગનાં સૂત્ર

  • ઓછામાં ઓછું એક: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B).
  • બંને: n(A∩B) = n(A) + n(B) − n(A∪B).
  • ફક્ત A = n(A) − બંને; ફક્ત B = n(B) − બંને.
  • ફક્ત એક = n(A) + n(B) − 2 × બંને.
  • એકેય નહીં = કુલ − n(A∪B).

ત્રણ વર્ગનાં સૂત્ર

  • ઓછામાં ઓછું એક = A + B + C − (A∩B) − (B∩C) − (A∩C) + (A∩B∩C). (+ + + − − − +)
  • ફક્ત A = A − (A∩B) − (A∩C) + (A∩B∩C).
  • બરાબર બે = (A∩B) + (B∩C) + (A∩C) − 3 × (A∩B∩C).
  • ઓછામાં ઓછા બે = (A∩B) + (B∩C) + (A∩C) − 2 × (A∩B∩C).
  • ફક્ત એક = ઓછામાં ઓછું એક − બરાબર બે − ત્રણેય.
  • એકેય નહીં = કુલ − ઓછામાં ઓછું એક.

ઓછામાં ઓછો / વધુમાં વધુ છેદ

  • વધુમાં વધુ બંને = બેમાંથી નાની સંખ્યા (min).
  • ઓછામાં ઓછા બંને = A + B − કુલ (ઋણ આવે તો 0).
  • ટકાવારીમાં ઓછામાં ઓછા બંને = (A% + B%) − 100.

સંબંધ ઓળખવાની ચાવી

  • 'બધા A એ B' = વર્તુળ અંદર વર્તુળ (સબસેટ).
  • 'કોઈ A એ B નહીં' = અલગ વર્તુળ (છેદે નહીં).
  • 'કેટલાક A એ B' = છેદતા વર્તુળ (ઓવરલેપ).
  • પ્રકાર vs પ્રકાર (કૂતરો-બિલાડી) = મોટા વર્ગ અંદર બે અલગ વર્તુળ.
  • સ્તર સંબંધ (ગામ-જિલ્લો-રાજ્ય-દેશ) = એક અંદર બીજું, ક્રમશઃ.

હવે પ્રેક્ટિસ કરો

આ chapter ની ટેસ્ટ આપીને પદ્ધતિ પાક્કી કરો — ફ્રી.